Getallenstelsels

TERUGHome.html
Getallenstelsels

Getallenstelsels

Een wiskundig systeem om getallen mee te kunnen aanduiden is een getallenstelsel. Het meest gebruikte systeem is het getallenstelsel gebasseerd op de positiestelsels. Een positiestelsel heeft als basis een gekozen grondgetal waarin een getal wordt voorgesteld als een rij cijfers. Ieder cijfer laat zich vervolgens uitdrukken als een macht van het grondgetal met de cijfers van het getal als coëfficiënten:


x = xk · nk + ... + x2 · n2 + x1 · n1 + x0 · n0


In het bovenstaande n-tallig getallenstelsel wordt het getal dan ook als volgt geschreven:


xk...x2x1x0.


Voorbeeld: 1683 = 1 · 1000 + 6 · 100 + 8 · 10 + 3 · 1 = 1 · 103 + 6 · 102 + 8 · 101 + 3 · 100.


De meest voorkomende getallenstelsels zijn:

tweetallig stelsel - binair stelsel

achttallig stelsel - octaal stelsel

tientallig stelsel - decimaal stelsel

twaalftallig stelsel - duodecimaal stelsel

zestientallig stelsel - hexadecimaal stelsel



Decimale getallen


Het decimale getallenstelsel heeft als basis tien. Dit stelsel gebruikt de volgende getallen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. In het dagelijks leven wordt hoofdzakelijk alleen het decimale stelsel gebruikt; bij het kopen van een stuk worst en je krijgt dan wisselgeld terug bijvoorbeeld. Waarschijnlijk gebruiken we het decimale stelsel omdat we tien vingers hebben. Hieronder zie je een getal uit het decimale stelsel gesplitst in machten van 10:


251 = 2 · 100 + 5 · 10 + 1 · 1 = 2 · 102 + 5 · 101 + 1 · 100;

64,7 = 6 · 10 + 4 · 1 + 7 · (1/10) = 6 · 101 + 4 · 100 + 7 · 10-1;

0,79 = 0 · 1 + 7 · (1/10) + 9 · (1/100) = 0 · 100 + 7 · 10-1 + 9 · 10-2.



Duodecimale getallen


Het twaalftallige stelsel ziet je terug bij een ouderwetse klok of horloge: meestal rond en met wijzers, digitale horloges zijn er trouwens ook op gebasseerd. Een etmaal is twee keer 12 uur. Een dag óf nacht heeft 12 uur. Een uur heeft vijf keer 12 minuten. Een minuut heeft vijf keer 12 minuten. Vroeger werden de eenheden dozijn (12 stuks) en gros (12 keer 12) veel gebruikt. Het tientallige stelsel heeft tien verschillende cijfers die je kunt gebruiken, dus het twaalftallige stelsel heeft er 12: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Let wel op, want als het elf uur is, zeg je dus niet ´het is alweer B uur´. (A = 10; B = 11) Hieronder zie je wat voorbeelden van duodecimale getallen:


8 · 122 + 4 · 121 + 5 · 120 = 84512

2 · 122 + 8 · 121 + 10 · 120 = 28A12

11 · 122 + 0 · 121 + 10 · 120 = B0A12



Binaire, octale en hexadecimale getallen


Een computer kan niet nadenken en daarom werken computers met het binaire systeem. Het binaire systeem (of wel het tweetallige getalssysteem) kent maar twee cijfers; 0 en 1. Ofwel UIT en AAN. Dit is handig om instructies aan een computer te geven. Je kunt tegen een mens zeggen: het is best wel koud óf het is nogal koud, maar tegen een computer kun je alleen maar ´zeggen´ het is niet koud of het is wel koud. Een computer kan geen verschil maken met nuances. Daarom kun je een bestand (bijvoorbeeld deze website) voorstellen als een hele lange reeks nullen en enen. Één cijfer uit zo´n lange reeks is een ´bit´; binairy digit. Voor een computer is dat erg duidelijk, maar voor mensen nogal bijzonder onoverzichtelijk. Voor een beter overzicht van die lange reeksen verdeelt men ze in stukjes van 3 bits of 4 bits. 001101101110 wordt dan 001.101.101.110 óf 0011.0110.1110. Verdeel je de lange reeksen van nullen en enen in 3 stukjes, dan heb je bijvoorbeeld de stukjes 001, 101, 101 en 110. Elk zo´n stukje kan 8 verschillende mogelijkheden bevatten. Zo heb je het achttallige getallensysteem (of wel octale systeem). Verdeel je zo´n reeks in stukjes van vier stukjes, heb je 0011, 0110 en 1110. Elk zo´n stukje ken 16 verschillende mogelijkheden én je hebt dus het zestientallige getallenstelsel (ook wel hexadecimaal genoemd).



Binaire getallenstelsel


Het binaire stelsel heeft als grondgetal 2 en heeft dus maar twee getallen: 0 én 1. Het wordt hoofdzakelijk gebruikt door de processor van een computer. Hieronder zie je wat voorbeelden van binaire getallen:


1101b = 1 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 13;

11010011b = 1 · 27 + 1 · 26 + 0 · 25 + 1 · 24 + 0 · 23 + 0 · 22 + 1 · 21 + 1 · 20 = 211;

100b = 1 · 22 + 0 · 21 + 0 · 20 = 4.



Octale getallenstelsel


Het octale stelsel heeft 8 als grondgetal en dus ook 8 cijfers om mee te rekenen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 en 7. Maar weer wat voorbeelden:


1101o = 1 · 83 + 1 · 82 + 0 · 81 + 1 · 80 = 577;

246o = 2 · 82 + 4 · 81 + 6 · 80 = 166;

700o = 7 · 82 + 0 · 81 + 0 · 80 = 448.



Hexadecimale getallenstelsel


Het hexadecimale stelsel heeft 16 als grondgetal en dus ook 16 cijfers om mee te rekenen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E én F; A=10. B=11, C=12, D=13, E=14 en F=15. Zoals je ziet, zie je dat er net als bij de duodecimale getallen hier ook letters tussen staan. Zolang deze ´letters´ gebruikt worden in hexadecimale (of duodecimale) getallen zijn het gewoon cijfers. Hier volgen wat voorbeelden:


1101h = 1 · 163 + 1 · 162 + 0 · 161 + 1 · 160 = 4353;

D2Ah = 13 · 162 + 2 · 161 + 10 · 160 = 3370;

14h = 1 · 161 + 4 · 160 = 20.


N.B.: Je kunt hier een handige lijst downloaden met de getallen uit het decimale, binaire, octale, duodecimale en hexadecimale stelsels in gemakkelijke kolommen: kies uit de Word of de PDF versie.



Rekenen in een (ander) getallenstelsel


Als we de som van 27 én 89 willen weten, óf het product van 27 én 89, rekenen we dat uit door ze onder elkaar te zetten. Of als we 200 willen delen door 4 maken we een staartdeling. Dat werkt met de ´normale´ decimale getallen maar ook met getallen uit een ander getallenstelsel, dus getallen met een ander grondgetal.




Hoe werkt de bovenstaande optelling:

je telt 9 én 7 op, dat is 16;

je rekent in een decimaal stelsel (grondgetal 10), dus je schrijft (16-10 =) 6 op;

de 1 (lees: 1 · 101) gaat naar de volgende kolom toe;

je berekent dan de som van 8, 2 én 1 en dat is 11.

je rekent in een decimaal stelsel (grondgetal 10), dus je schrijft (11-10 =) 1 op;

de 1 (lees: 1 · 101) gaat naar de volgende kolom toe;

de som van 1 is natuurlijk 1, de uitkomst is dan 116.


Stel nu dat we de som van 56o + 27o (octale getallen) uitrekenen:




je berekent de som van 6o en 7o, dat is 13;

je rekent in het octale stelsel (grondgetal 8), dus je schrijft 13 - 8 = 5 op;

de 1 (lees: 1 · 81) gaat naar de volgende kolom toe;

de som wordt dan weer: 5 + 2 + 1 = 8

je rekent in het octale stelsel (grondgetal 8), dus je schrijft 8 - 8 = 0 op;

de 1 (lees: 1 · 81) gaat naar de volgende kolom toe;

de som van 1 is natuurlijk 1, de uitkomst is dan 105.


N.B.: In onze hersenen zit het rekenen met het decimale getallenstelsel ingebakken, dus het is erg moeilijk om de knop om te zetten. Maar als je probeert en probeert zal het steeds natuurlijker gaan. Daarom heb ik handige tabellen gemaakt die je kunt downloaden en eventueel afdrukken. Klik hier voor de Word-versie of de PDF-versie.



Omrekenen van het ene getallensysteem naar de andere getallensysteem


Bij het omrekenen van het ene getalstelsel naar het andere heb je de volgende volgende mogelijkheden:

A. omrekening van een ander getallenstelsel (grondgetal is NIET 10) naar het decimale;

B. omrekening van het decimale getallenstelsel naar een ander getallenstelsel (grondgetal is NIET 10);

C. omrekening van het ene getallenstelsel naar de andere getallenstelsel (allebei hebben ze NIET 10 als grondgetal).


A. omrekening van een ander getallenstelsel (grondgetal is NIET 10) naar het decimale


De werkwijze bij deze omrekening gaat als volgt:


je schrijft het getal van dat getallenstelsel als machten van dat getallenstelsel

je rekent het vervolgens uit en je heb het decimale getal.


VOORBEELD 1


Je wilt het binaire getal 100101b omzetten naar een decimaal getal.


100101b is een binair getal en heeft dus grondgetal 2.


100101b = 1 · 25 + 0 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 = 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 37d.


VOORBEELD 2


Je wilt het hexadecimale getal 10Ah omzetten naar een decimaal getal.


10Ah is een hexadecimaal getal en heeft dus 16 als grondgetal.


10Ah = 1 · 162 + 0 · 161 + 10 (A) · 160 = 64 + 0 + 10 = 74d.



B. omrekening van het decimale getallenstelsel naar een ander getallenstelsel (grondgetal is NIET 10)


De werkwijze bij deze omrekening gaat als volgt:


je schrijft het decimale getal als een reeks van machten van de macht van het grondgetal van het getallenstelsel waar naar toe je omrekent;

je zet de juiste coëfficiënten op de juiste plaats en je hebt je getal van dat getallenstelsel.


VOORBEELD 3


Je wilt het decimale getal 74d omzetten naar een hexadecimaal getal.


74d moet je dus schrijven als machten van 16, want je gaat 74d omzetten naar een hexadecimaal getal. Je gaat op zoek naar de hoogst mogelijke macht die nog in 74d past. Eerst proberen we 163 = 256, helaas dat is te hoog. Zou 162 = 64 dan wel passen? Ja het past en wel één keer. 74d =1 · 162 + iets. iets = 74 - 64 = 10. Nu proberen we de volgende exponent: 161 = 16. 16 past niet in 10, dus de coëfficiënt voor 161 is dus dan 0. De volgende macht is dan: 160 = 1. 1 past wel in 10 en wel 10 keer. 74d = 1 · 162 + 0 · 161 + 10 · 160 = 1 · 162 + 0 · 161 + A · 160. A is 10 in het hexadecimale stelsel. Je hebt dus de volgende coëfficiënten: 1, 0, A en het hexadecimale getal is dan: 10A.


VOORBEELD 4


Je wilt het decimale getal 2008d omzetten naar een octaal getal.


2008d kun je nu schrijven als machten van 8, want je rekent om naar het octale stelsel. 84 = 4096, en dat is hoger dan 2008 dus we proberen een andere exponent. 83 = 512, en dat past wel. We weten nu dus dat 2008d = iets · 83 + nog_iets. 2008 : 83 = 3,9, dus 83 past drie keer in 2008d en dan krijg je: 2008d = 3 · 83 + nog_iets. nog_iets is dan 2008 - 3 · 83 = 472, vervolgens schrijven we nu 472 als macht van 82. 82 past 7 keer in 472: 472 = 7 · 82 + nog_iets én dus ook 2008d = 3 · 83 + 7 · 82 + nog_iets. nog_iets = 2008d - 3 · 83 - 7 · 82 = 24. 2008d = 3 · 83 + 7 · 82 + 24. We schrijven 24 als een macht van 81 en 24 past er precies 3 keer in: 2008d = 3 · 83 + 7 · 82 + 3 · 81. Er blijft niets over, dus we hoeven niet verder te gaan zoeken naar de coëfficiënt van 80. Die coëfficiënt is dus 0. 2008d = 3 · 83 + 7 · 82 + 3 · 81 + 0 ·80. Je hebt dan de volgende coëfficiënten; 3, 7, 3, 0 en dan is het octale getal dus 3730o.


C. omrekening van het ene getallenstelsel naar de andere getallenstelsel (allebei hebben ze NIET 10 als grondgetal)


De werkwijze bij deze omrekening gaat als volgt: (van stelsel P naar stelsel Q)


je rekent het getal uit getallenstelsel P om naar het decimale getallenstelsel d.m.v. methode A;

dan reken je het gekregen decimale getal om naar getallenstelsel Q d.m.v. methode B.


Er leiden vele wegen naar Rome, dus de bovenstaande methodes zijn slechts één van de vele manieren. Naast de gebruikelijke getalstelsels zijn er ook nog de getallenstelsels die wel bestaan, maar alleen interessant zijn voor wiskunde-liefhebbers. We hebben het reeds gehad over het binaire, octale, decimale, duodecimale en hexadecimale stelsels. Je kunt ook een 13-tallig getallenstelsel bedenken. Het geeft praktisch geen nut, maar het is wel interessant. Het grondgetal kan zelfs ook negatief zijn, maar daarvoor geldt hetzelfde als het 13-tallige stelsel. De grondgetallen -1, 0 of 1 kunnen echter niet, daar het stelsel dan alleen het getal 0 zou hebben. Rekenen met één cijfer is onmogelijk. Ook gebroken getallen (als ¾ of 2,68) kunnen als grondgetal dienen. Er staan dan verticale strepen tussen de coëfficiënten, omdat er geen symbool is voor bijvoorbeeld 3,4. Als we bijvoorbeeld: 27,52 willen schrijven als een getal van het 3,4-tallig stelsel krijgen we:




Bij omrekenen van het ene getallenstelsel naar het andere getallenstelsel moet je veel hoofdrekenen. Dat is bij kleine getallen best te doen, maar bij grotere getallen wordt het toch moeilijker. Je kunt dan een stuk papier en potlood pakken (veel leukerder) of als je lui bent een rekenmachine, maar veel gemakkelijker is om de volgende tabel te downloaden: er zijn twee versies Word- of de PDF-versie.



Faculteiten-stelsel


Het faculteitenstelsel maakt geen gebruik machten van een grondgetal, maar van factoren van faculteiten. Als je niet weet wat een faculteit is, kun je dat hier lezen.


Stel we hebben het decimale getal 8 en dat getal gaan we naar het faculteitenstelsel omzetten:


Eerst zetten we wat faculteiten op een rijtje: 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24. In het getal 8 zit in ieder geval niet 4!, dus beginnen we met de faculteit 3!. Deze faculteit zit maar één keer in 8, je kunt dus 8 schrijven als: 8 = 1 · 3! + 2. Nu moeten we nog een faculteit vinden voor het getal 2 en dat is volgens rijtje 2!: 2! = 2. Het decimale getal 8 kun je dus schrijven als: 8 = 1 · 3! + 1 · 2!. Voor de duidelijkheid kun je ook nog (beter) het volgende schrijven: 8 = 1 · 3! + 1 · 2! + 0 · 1!. De faculteiten-getal is dan: 110!.


Nog een voorbeeld met het decimale getal 15. 4! past niet in 15, dus gaan we verder met 3!. 3! (= 6) past twéé keer in 15: 15 = 2 · 3! + 3. 2! past één keer in 3: 15 = 2 · 3! + 1 · 2! + 1. 1! past één keer in 1: 15 = 2 · 3! + 1 · 2! + 1 · 1!. Het decimale getal 15 kun je dus schrijven als 211!.


Omgekeerd is het veel simpeler. Stel je hebt het faculteiten-getal 2320! en je wilt weten wat de decimale is. 2 · 4! + 3 · 3! + 2 · 2! + 0 · 1! = 2 · 24 + 3 · 6 + 2 · 2 + 0 · 1 = 48 + 18 + 4 + 0 = 70. Dus 2320! = 70d.


Stel je hebt het faculteiten-getal abcdef. De decimale versie is dan: a · 6! + b · 5! + c · 4! + d · 3! + e · 2! + f · 1!. Het is dan zo dat f alleen de waarde 0 of 1 kan hebben, en c alleen een waarde kan hebben van 0 t/m 4. De f staat voor de 1! en daarom kan f alleen de waarde 0 t/m 1 hebben, c staat voor de 4! en daarom kan c alleen de waarden 0, 1, 2, 3 of 4 hebben. Dus a kan alleen de waarden 0, 1, 2, 3, 4, 5 of 6 hebben. Als iemand zegt dat 123! een faculteitengetal is weet jij wel beter, want die 3 staat voor de 1! en dat kan dus niet.