Getalverzamelingen

TERUGHome.html
Getalverzamelingen

Getalverzamelingen

De verzameling van de natuurlijke getallen, ℕ


Natuurlijke getallen zijn getallen die „natuurlijke“ zaken weergeven: bijvoorbeeld 5 appels, 2 auto´s, 1 cavia óf 100.000 mensen. Dus de natuurlijke getallen zijn de getallen: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... , deze getallen gaan oneindig door. In de negentiende eeuw werd er nog een extra getal aan toe gevoegd: de nul, dus nú zijn de natuurlijke getallen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... en deze gaan ook door tot in de oneindigheid. Je kunt deze verzameling ook zo omschrijven: ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}. De verzameling van alle positieve gehele getallen is ℕ+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}, want het getal nul is noch positief of negatief. In Nederland is het getal nul noch positief of negatief, terwijl in België het getal nul zowel positief als negatief is.


= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}


+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

een hand heeft 5 vingers

een auto heeft 4 banden en 1 stuur

De verzameling van de gehele getallen, ℤ


De verzameling van de natuurlijke getallen, ℕ dus, bestaat uit nul én de positieve gehele getallen. Als we aan ℕ ook de negatieve gehele getallen toevoegen, krijgen we een verzameling van alle gehele getallen (mét de nul); dat is een nieuwe verzameling en die heet ℤ , naar het Duitse woord „Zahlen“. Je kunt dus zeggen, dat ℤ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}. Deze verzameling heeft geen grenzen én loopt dus van -∞ (min oneindig) tot ∞ (oneindig). Enkele voorbeelden van getallen uit ℤ zijn: 5 appels, 2 auto´s, -100 € op de bank, een temperatuur van -20 °C én 2 km onder de zeespiegel (-2 km). Aangezien ℕ onderdeel is van ℤ, zoals eerder beschreven, kun je zeggen dat ℕ een deelverzameling in van ℤ. Of mooier wiskundig gezegd: ℕ ⊂ ℤ.


= {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}


+ = ℕ+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}


- = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Voorbeelden van gehele getallen

De bergtop aan de linkerkant ligt op +1000 meter. De bergtop aan de rechterkant ligt op +300 meter. Het waterniveau ligt op 0 meter. De diepte van het meer is ligt op -750 meter.


Anders gezegd: De bergtop aan de linkerkant is 1000 meter hoog. De rechterbergtop is 300 meter hoog. De waterniveau is 0 meter en de diepte van het meer is 750 meter.

De verzameling van de gehele getallen, ℚ


We kunnen de verzameling van alle gehele getallen (ℤ) uitbreiden mét breuken, breuken heten ook wel rationale getallen. Het resultaat is dan de nieuwe verzameling ℚ ; de „q“ komt waarschijnlijk van het woord „quotient“, dat is het resultaat van een deling. Rationale getallen (breuken dus!) zijn getallen die een verhouding zijn van twee ander getallen; een ander woord voor „verhouding“ is „ratio“. De verzameling ℚ bestaat dus uit alle gehele getallen, de nul plus breuken (rationale getallen); ℤ is een deelverzameling van ℚ, ófwel ℤ ⊂ ℚ én ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. De laatste laat zien dat ℕ een deelverzameling is van ℤ, maar ook van ℚ. Voorbeelden  van getallen uit ℚ zijn: 2 cavia´s, 3 auto´s, -10°C, ⅓ taart, ½ stuk kauwgum.


Een voorbeeld maakt het duidelijker. je hebt 3 stukken kauwgum en 6 kinderen; dat wordt huilen als je alleen met ℕ of ℤ zou kunnen rekenen. Gelukkig is er de verzameling ℚ! Nu kunnen we ieder kind 3/6 stuk kauwgum, dus een ½ stuk, geven én is een krisis afgewend. (½ ∈ ℚ , ½ ∉ ℤ , ½ ∉ ℕ). Het teken „∈“ betekent „is element van“, dus „½ ∈ ℚ“ betekent „½ is element van ℚ“. Het teken „∉“ betekent „is geen element van“, dus „½ ∉ ℤ“ betekent „ ½ is geen element van ℚ“. Dus dat ½ geen onderdeel is van de verzameling ℤ. Net als bij ℤ loopt ook ℚ van -∞ tot ∞.


is de verzameling van alle gehele getallen, de nul en de breuken;


+ is de verzameling van alle positieve gehele getallen en de positieve breuken;


- is de verzameling van alle negatieve gehele getallen en de negatieve breuken.




Voorbeelden van rationale getallen:

deze taart is verdeeld in een achtste stuk én een zeven-achtste stuk

probleem van de 3 stukken kauwgum en 6 kinderen, gevolgd door de oplossing

probleem van de 3 stukken kauwgum en 6 kinderen, gevolgd door de oplossing

De verzameling van de reële getallen, ℝ


Rationale getallen (dat zijn nog steeds breuken), zijn zoals gezegd getallen die een verhouding zijn van twee andere getallen. Er zijn ook getallen, die géén verhouding van andere getallen zijn; dat zijn wortels, logaritmen, enz ... Dat zijn de zgn. reële getallen. π (pi) is ook zo´n reëel getal; π is de omtrek van een cirkel met een straal van een ½.


Als je rationale getallen als een decimale breuk schrijft (dus met cijfers achter de komma), dan zie je bij de rationale getallen een herhaling optreden in het patroon:


1/7 = 0,142857142857142857142857142857142857...

(herhaling = 142857)


1/9 = 0,1111111111111111111111111111111111111...

(herhaling = 1)


1/11 = 0,090909090909090909090909090909090909...

(herhaling = 09)


15/17 = 0,882352941176478823529411764788235294117647...

(herhaling = 88235294117647


Soms zie je géén herhaling, maar eindigt de decimale breuk:


1/4 = 0,25 ;    1/10 = 0,1 ;    1/500 = 0,002 .


Er zijn ook getallen (de uitkomsten van wortels bijvoorbeeld) die niet eindigen én dus oneindig doorgaan, maar ook géén herhalende patroon laten zien:


√7 = 2,6457513110645905905016157536393...


√11 = 3,3166247903553998491149327366707...


π = 3,1415926535897932384626433832795...


e = 2,7182818284590452353602874713527...

(e is het grond getal van de natuurlijke logaritme)


Getallen die dus oneidig doorgaan achter de komma én geen herhalend patroon hebben zijn reële getallen; zie bovenstaande voorbeelden.


De verzameling van de rationale getallen (ℚ) samen met de reële getallen vormen de verzameling van alle reële getallen (ℝ). Je kunt dus zeggen: dat ℚ een deelverzameling  is van ℝ, óf: ℚ ⊂ ℝ. Verder geldt er ook: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Enkele voor beelden van reële getallen: 2, -15, ½, -¾, π, √11, ...


is de verzameling van alle reële getallen;


+ is de verzameling van alle positieve reële getallen;


- is de verzameling van alle negatieve reële getallen;


0- is de verzameling van alle negatieve reële getallen mét de nul.



Voorbeelden van reële getallen:

Het bewijs dat wortel 2 reëel is:

Klik op deze link bewijs.pdf (PDF, 42 kB) om het bewijs te zien dat de wortel uit 2 géén breuk is. Een ander woord wordt voor een breuk is: een rationaal getal. Een getal dat géén breuk is heet ook wel een irrationaal getal. Irrationale getallen zijn elementen van de verzameling .; en zijn dus reëel.

BOVEN: constructie van de wortel van 2

De verzameling van de complexe getallen, ℂ


Voeg complexe getallen toe aan de verzameling van de reële getallen (ℝ) én je krijgt een nieuwe verzameling, die ℂ heet. Zie daarvoor dit artikel op deze website: LINK. Voorbeelden van complexe getallen: 2, -15, ½, -¾, π, √11, 2i, 2 + 6i, ... Verder geldt hier ook:  ℝ ⊂ ℂ én ook weer: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.

BIJLAGE:


Klik hier om de benadering van wortel 2 te zien met 4939 decimalen.