Groei en Verval

TERUGHome.html
Groei en Verval

Groei en Verval

Exponentiële groei komt veel voor: de groei van bacteriën op een schaaltje in een lab of op vlees dat in je GFT-ton zit. Andere voorbeelden van exponentiële groei zijn: de groei van een populatie van ratten of zelfs mensen, de verspreiding van een besmettelijke ziekte (zoals bijv. de Mexicaanse griep in 2008/2009) en de groei van algen in een vijver. In het begin gaat deze exponentiële groei langzaam, maar na niet al te lange tijd schieten de aantallen omhoog. Dat kun je goed zien in het onderstaande plaatje; de gestippelde lijn is een voorbeeld van ongelimiteerde exponentiële groei.

Dat kun je mooi zien in het volgende voorbeeld: als een stuk vers vlees ergens neerlegt ´gebeurt´ er in het begin niets, maar dan ineens zit het vol met schimmel. Deze exponentiële groeiprocessen kunnen niet eeuwig doorgaan; er komt een moment dat het vlees op is en de populatie van de schimmel uit het vorige voorbeeld stagneert en zelfs verdwijnt, want er is geen vlees meer op van te eten.

Verval is het tegenovergestelde van groei, dus in plaats van dat een populatie toeneemt zal deze juist afnemen. Wiskundig kun je dit zeer gemakkelijk toepassen in een formule, door het plusteken (+) van de groei te vervangen door het minteken (-) wat bij verval hoort. Negatieve groei is dus verval en negatief verval is weer groei.

Bij een ongeremde exponentiële groei is de populatie alleen afhankelijk van de tijd: je gebruikt dan ook ook een gewone differentiaalvergelijking, dus een afgeleide-functie met één variabele, de tijd.

Een onremde exponentiële groei is simpeler te berekenen dan een geremde exponentiële groei, daarom beginnen we daarmee. Je hebt dan een groeifactor van bijvoorbeeld . De beginpopulatie is ook belangrijk, want dan pas kun je berekenen wat de populatie is over een aantal minuten. De beginpopulatie heet ook wel: n0 (het aantal n schimmels op tijdstip t = 0). De groei hangt bij een ongeremde exponentiële groei dus alleen af van de populatie. Deze groeifactor heet ook wel de afgeleide dn/dt. De ´d´ in de afgeleide staat voor ´verschil´. De ´n´ voor het aantal en de ´t´ de tijd. De variabele ´dn´ is dan dus de verandering in het aantal en ´dt´ de verandering in de tijd. Je kunt dan zeggen: ´dn/dt´ is dan de verandering van het aantal in een bepaalde tijd.

De bovenstaande afgeleide is de afgeleide voor de onbegrensde exponentiële groei. De formule om het aantal te berekenen staat hieronder. De variabele n(t) is het aantal na t tijdseenheden; dat kunnen dagen, uren, minuten of seconden zijn, maar natuurlijk ook andere eenheden. Als een bacterie zich elke 27 dagen zou verdubbelen, dan is de tijdseenheid 27 dagen. De e is het grondgetal van de natuurlijke logaritme; e is ongeveer 2,72. Voor de r vul je bij een exponentiële groei de waarde elog 2 of LN 2 in; dat heb ik berekend. LN 2 = 0,693. Het aantal tijdseenheden vul je in in de variabele t. n0 staat voor het aantal wat er was in het begin, dus op tijdstip 0 (t = 0).

Geen enkele exponentiële groei is onbegrensd. Als je denkt aan schimmel dat op vlees zit, dan zal zal die schimmel zich eerst onbegrensd verdubbelen. Echter na een tijdje (en dat is behoorlijk snel) zal er geen genoeg vlees meer zijn om alle schimmels in leven te houden. Er komt dus een grens in zicht en je hebt een begrensde exponentiële groei. Eerst zal de groei geremd worden tot n(t) een kritieke waarde bereikt heeft. Een kritieke waarde zou kunnen zijn, dat er maximaal vlees is voor 1.000.000 schimmels. De kritieke waarde heeft de variabele k.

De afgeleide bij een begrensde exponentiële groei staat hier boven. Je ziet dat er rekening is gehouden met de kritieke waarde k. Pierre Verhulst stelde in 1838 de logistieke vergelijking voor. Dat is de vergelijking voor begrensde exponentiële groei, deze staat hier onder.

De variabele k in deze logistieke vergelijking staat voor de kritieke waarde van de populatie, dus voor het maximale aantal dat de populatie kan bevatten. Redenen daarvoor kunnen zijn: tekort aan voedsel, grondstoffen, enz.. De andere variabele staan voor hetzelfde als bij de formule voor onbegrensde exponentiële groei.

Als je naar de logistieke vergelijking kijkt en in het bijzonder naar bovenstaande stukje eruit, dan zie je dat stukje voor de e-rt staat en zo dus de groei beïnvloed. Bij de formule voor onbegrensde exponentiële groei staat er alleen n0 voor, want daarbij heeft alleen de populatie invloed op de groei. Terug naar de logistieke vergelijking van Verhulst. Naarmate de tijd verstrijkt (dus t groter wordt), zal de reproductiefactor (de afgeleide) kleiner worden. Hieronder zie je hetzelfde plaatje als eerder op deze pagina, alleen gaat het nu op de niet-stippellijnen. Je ziet verschillende grafieken, steeds is er begonnen met een ander beginaantal (n0). Als je een n0 kiest dat groter is dan k gaat de grafiek naar beneden tot ie de k bereikt heeft. Dan is er verval (negatieve groei).

In de ecologie wordt de logistieke vergelijking ook gebruikt om populatie van bijvoorbeeld mieren te berekenen. De logistieke vergelijking, waar we nu van uitgegaan zijn is daarvoor te beperkt. In de natuur zijn er ook bijvoorbeeld miereneten (rivaliserende soorten). Deze rivaliserende soorten moeten ook meegenomen worden in de logistieke vergelijking. De logistieke vergelijking wordt dan een stuk ingewikkelder. Stel je eens voor dat je een stuk bos neemt met 20 rivaliserende diersoorten en hoe de logistieke vergelijking voor al die populaties eruit zal zien; ingewikkeld. Je zit duidelijk darwinistische trekken in de logistieke vergelijking; natuurlijke selectie.