Hoorn van Gabriel

TERUGHome.html
De Hoorn van Gabriel

De Hoorn van Gabriel

De hoorn van Gabriël is een ruimtelijk figuur. Een ander naam voor dit figuur is de trompet van Torricelli. Het is namelijk zo dat Evangelista Torricelli (1608-1647) deze hoorn heeft bedacht/gevonden. Het interresante van dit wiskundige ruimtelijke figuur is dat het een onbegrensde oppervlakte heeft, maar een begrensd volume! De tekenis hiervan is de Dag des Oordeels. Op die dag komt de aartsengel Gabriël naar de aarde om de gerechtvaardigde mensen naar de hemel te halen en de zondige mensen achter te laten op de aarde. De aarde wordt daarop vernietigd. Het oneindige is hierbij het Goddelijke en de begrensde is hier het wereldse.

Je kunt de hoorn van Gabriël tekenen door de volgende grafiek te tekenen met bijbehorend domein: y = x-a met domein x => 1. Vervolgens roteer je deze grafiek om de x-as; je draait deze dus om de x-as. Dan krijg je een driedimensionaal figuur.

de grafiek van y = x-1  ( zonder domein x => 1 )

(een gedeelte van de grafiek, met a = 1)

de grafiek van y = x-1  ( mét domein x => 1 )

(een gedeelte van de grafiek, met a = 1)

de grafiek van y = x-1  gespiegeld aan de de x-as, je ziet als het ware de doorsnede van de hoorn van Gabriël.

Hier heb ik verschillende varianten van y = x-1 toegevoegd, zodat je een idee hebt van de rotatie van y  = x-1 om de x-as.

Het volume van de hoorn van Gabriël is:

De oppervlakte van de hoorn van Gabriël is:

(Voor beide geldt: x = 1 én x = a  (a > 1) )



De waarde van a kan zo groot zijn als jezelf wilt. Als je a groter en groter maakt, zal het volume het getal pi ( π ) naderen. Simpeler gezegd als je a oneindig groot is, is het volume gelijk aan π. ( π is bij benadering 3,14 ) Als je a oneindig groot zou willen maken, moet je het volume met limieten berekenen:

Het was in het begin van de zeventiende eeuw een apart figuur. Het werd als een paradoxaal figuur beschouwd, want je hebt een eerst een plat (tweedimensionaal) figuur met een begrensde inhoud en door te roteren om de x-as krijg je een ruimtelijk figuur met onbegrensde inhoud. Het heet ook wel de schildersparadox: je hebt een oneindige hoeveelheid verf nodig om een eindig vlak te kunnen beschilderen, of je hebt oneindig veel verf nodig om de hoorn van Gabriël te kunnen vullen.

Er is echter een logische verklaring voor deze paradox zodat deze paradox minder paradoxaal wordt. Als je de oppervlakte berekent van de hoorn van Gabriël: kun je de oppervlakte zien als de som van kleine stroken van één-dimensionale ringen/lijnen. De grafiek y = x-a is echter tweedimensionaal, maar een punt of lijn dat onderdeel is van die grafiek is één-dimensionaal; je kunt de oppervlakte van deze (tweedimensionale) grafiek berekenen in vierkante meters (m2) en de lengte van een lijn alleen in meters (m).

Je kunt de oppervlakte van de hoorn van Gabriël dus zien als oneindig veel één-dimensionale ringen; samen levert dat een tweedimensionaal figuur op, met andere woorden: de oppervlakte. Dat werkt net zo voor de inhoud van de hoorn van Gabriël.