Schema van Horner

TERUGHome.html
Schema van Horner

Schema van Horner

Met het schema van Horner kun je de functiewaarde berekenen van een gehele rationale functie. Het gaat hier om een zgn. polynomium. Een polynomium van de tweede orde heeft de algemene vorm:


y = f(x) = a2x2 + a1x + a0.


Een voorbeeld van een polynomium van de tweede orde is:


y = f(x) = 3x2 + 2x - 4.


De algemene vorm van een polynomium van de vierde orde is:


y = f(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0.


Een bijbehorende voorbeeld is:


y = f(x) = 2x4 + 4x3 + x2 + 3x + 7.


De algemene vorm van een polynomium van de n-de graads is:


y = f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0.


Een polynomium van de derde orde kun je ook schrijven als P3(x) én van de vijfde orde als P5(x). Een polynomium van de n-de orde schrijf je dan als Pn(x). Voor we naar het schema van Horner gaan, berekenen we eerst de functiewaarde (dat is de y-waarde, f(x), Pn(x)) van een polynomium van de vierde graad P4(x) met een x-waarde van x = x0. De waarde x0 staat voor de waarde van x, waarbij f(x) nul is.


Dus: (x = x0)


y = f(x0) = P4(x0) =


= a4x04 + a3x03 + a2x02 + a1x0 + a0

= (a4x03 + a3x02 + a2x0 + a1)x0 + a0

= ((a4x02 + a3x0 + a2)x0 + a1)x0 + a0

= (((a4x0 + a3)x0 + a2)x0 + a1)x0 + a0


We hebben nu een reeks van machtsverheffingen terug gebracht naar een reeks vermenigvuldigingen met de factor x0 en dan tot een optelling. We stellen nu:


a4x0 = b3

b3x0 = b2

b2x0 = b1

b1x0 = b0


,dan geldt: (na invulling van respectievelijk b3, b2, b1 én b0)


y = f(x0) = p4(x0) =


= (((a4x0 + a3)x0 + a2)x0 + a1)x0 + a0

= ((b3x0 + a2)x0 + a1)x0 + a0

= (b2x0 + a1)x0 + a0

= b1x0 + a0

= b0


, dus f(x0) = y0 = b0


Je kunt nu het volgende zeggen: als je voor x een waarde invult, dan krijg je de waarde b0. Door steeds deze bovenstaande stappen te zetten, hoef je geen machtsverheffingen meer uit te rekenen. Echter deze nieuwe manier maakt het niet veel gemakkelijker óf sneller; daarom gebruiken we een schema: het Schema van Horner! Dat laten we zien met een voorbeeld: y = 5x5 - 6x3 + 7,56x2 - 17,46 voor x = 1,2 en dan met de algemene vorm van een polynomium P5(x) voor x = x0. Met dat schema van Horner gaat het veel sneller dan met machtsverheffingen.


Voorbeeld met: y = 5x5 - 6x3 + 7,56x2 - 17,46 én x = 1,2


Dit is het lege schema van Horner voor een P5(x):

We vullen het in voor y = 5x5 - 6x3 + 7,56x2 - 17,46 én x = 1,2 :

We vullen dus eerst de 5 in die voor de grootste macht staat. Dan kijken we naar de macht die dan volgt; dat is niet x3, maar x4. Die x4 zie je niet staan, dus vullen we een nul in. Dan volgt het getal voor de x3. Dat is hier -6. Het getal voor de x2 is 7,56. De x zie je niet staan, dus vul je een nul in; 0x = 0. Tenslotte blijft er hetgetal -17,46 over. Je vult ook nog de mee te rekenen waarde van x linksboven in het schema van Horner in. Dat is hier: x = 1,2. Nu gaan we echt rekenen:

Het rekenen met het schema van Horner (zie hierboven) gaat als volgt: je berekent het produkt van 5 én x0, én vult het onder de 0 (nul) naast de 5 in. Dat produkt is 5 ∙ 1,2 = 6. De 0 en de 6 staan onder elkaar en deze tellen we op. Vervolgens berekenen we het produkt van deze som én x0; dat is 6 ∙ 1,2 = 7,2. Dat produkt vul je nu in onder de -6. Je berekent nu de som van 7,2 en -6. Dat is 1,2. Bereken weer het produkt van x0 en 1,2, dat 1,44 is én vul het onder de 7,56 in. De volgende som is (7,56 + 1,44 =) 9. Vul onder de nul de 9 maal x0 in: 10,8 én tel weer op: 0 + 10,8 = 10,8. Vul 10,8 maal 1,2 in onder hetgetal -17,46. De laatste som voor deze berekening is: 12,96 + -17,46 = -4,5, dus f(1,2) = -4,5; óf y1,2 = -4,5.


Nu het voorbeeld met de polynomium P5(x) én x = x0:

Zo werkt het schema van Horner. Het lijkt nu misschien ingewikkeld, maar oefening baart kunst (gemak en snelheid in dit geval)!




Bijlage


De polynomium P4(x) kun je ook delen door (x - x0) en dan krijg je hetzelfde resultaat als het laatste voorbeeld van het schema van Horner; staat hier boven:

Óf:

Óf:

Én in het algemeen: