Binomium van Newton Driehoek van Pascal

TERUGHome.html
Het binomium van Newton én
de driehoek van Pascal

Het binomium van Newton én

de driehoek van Pascal

Het binomium van Newton is een wiskundige formule, waarmee de macht van de som van twee grootheden kan worden uitgedrukt in een som van termen waarin de machten van de grootheden afzonderlijk voorkomen.

Natuurlijke exponent


De eenvoudigste vorm is:

waarbij n een natuurlijk getal is, en de getallen:

de binomiaalcoëfficiënten.


Dit zijn de uitwerkingen voor n=2, n=3 en n=4:

Formule I geldt voor alle reële en complexe getallen x en y, en meer in het algemeen voor elk paar elementen x en y in een commutatieve ring. Deze formule, en de rangschikking van binomiale coëfficiënten is een driehoek, worden vaak toegeschreven aan Blaise Pascal omdat die ze in de 17de eeuw beschreef. De formule was bij Chinese wiskundigen echter lang daarvoor al bekend.

Algemene formule


Isaac Newton generaliseerde de formule voor andere exponenten, door het beschouwen van de reeks:

waarin r een willekeurig complex getal kan zijn (dus ook elk reëel getal; niet noodzakelijkerwijs positief of geheel), en waarbij de coëfficiënten gelijk zijn aan:

met de afspraak dat voor k=0:

De som in formule II convergeert, en de vergelijking geldt, wanneer de reële of complexe getallen x en y "dicht bijelkaar" liggen, in de zin dat │ x ∕ y │ < 1. Formule II geldt ook voor elk paar waarden x en y in een Banach-algebra mits: xy = yx, y inverteerbaar en ║ x ∕ y ║ < 1.

Driehoek van Pascal

De driehoek van Pascal is een rangschikking van de binomiaalcoëfficiënten
in rijen voor toenemende n beginnend met n=0 en op elke rij de n+1 binomiaalcoëfficiënten voor de mogelijke waarden van k. In elke driehoek komt de eigenschap tot uitdrukking dat elke binomiaalcoëfficiënt de som is van de twee bovenliggende. De getallen in de driehoek geven het aantal wegen aan vanaf de top naar de plaats van zo´n getal, waarmee ook de besproken eigenschap verklaard is. Omdat er steeds 2 keuzen zijn om de weg naar onder te vervolgen is de som van de getallen op een rij de overeenkomstige macht van 2.
 

De driehoek is combinatorisch van aard en werd door Pascal toegepast in het onderstaande probleem in de kansberekening bij het dobbelen. Overigens ordende Pascal de getallen van de driehoek in een rechthoekig schema:

en noemde het getal op het kruispunt van rij i en kolom j: Cij, zodat
= Cn-k,k en de genoemde eigenschap luidt: Cij = Ci-1,j + Ci,j-1.
 

Problème des partis


Pascal ontwikkelde de naar hem genoemde getallen driehoek bij het oplossen van het zgn. ´problème des partis´, het probleem van het afgebroken spelletje. Dit probleem wordt al genoemd in een Italiaans geschrift uit 1380. Het luidt als volgt:


"Twee partijen spelen een balspel. Beide partijen hebben gelijke kans om te winnen. De partij die als eerste zes keer gewonnen heeft, krijgt de pot van 60 dukaten. Om één of andere reden moet het spel afgebroken worden bij een stand van 5-3. Hoe moet de pot nu verdeeld worden?"


De Italiaanse wiskundige Pacioli gaf in 1494 als oplossing dat de pot verdeeld moest worden in de verhouding 5:3, dus naar de stand bij afbreken. Zijn collega wiskudige, Cardano, meende echter dat men rekening moest houden met de winstkansen als verder zou worden gespeeld. Men kon in die tijd geen goede oplossing bedenken. Van de Franse edelman Chevalier de Méré kreeg Pascal (1623-1662) een wiskundig probleem voorgelegd:


"Twee spelers dobbelen om een inzet, zodat wie het eerst drie potjes wint de inzet krijgt. Het probleem was hoe de pot verdeeld moest worden wanneer de wedstrijd voortijdig werd afgebroken."


Pascal kwam stap voor stap tot de algemene formulering voor elk spel, waarin bij afbreken de ene speler nog m keer moet winnen en de andere speler nog n keer om de pot te krijgen. Zijn oplossing was dat de pot verdeeld moet worden in de verhouding N:M van de winstkansen van de beide spelers bij de afbreekstand, waarin:


, de som van de eerste n getallen op de (m+n-1)-de rij (geteld vanaf rij 0) in de driehoek;

en


, de som van de laatste m getallen op die rij.
 

Pascal noemde zijn ontdekking de "Géometre du hasard" (meetkunde van het toeval). De getallendriehoek als figuur was al eeuwen tevoren bekend bij onder meer enkele Chinese wiskundigen, maar de toepassing ervan in de kansberekening was Pascals ontdekking. De oplossing van de wiskundige probleem van het balspel eerder in deze tekst is: de ploeg die vijf punten heeft krijgt 52½ dukaten en de ploeg die op dat moment drie punten heeft krijgt 7½ dukaten (52½ + 7½ = 60). Klik hier voor de uitleg bij de oplossing.