Deelbaarheid van getallen

TERUGHome.html

Getallen hebben veel eigenschappen. Een belangrijke en handige eigenschap is de deelbaarheid van een getal door een bepaald getal. De belangrijkste delers zijn die van 1 t/m 13, anders delers zijn niet echt nuttig om te weten. De kernmerken van deelbaarheid zijn relatief simpel en liggen voor de hand zolang de deler klein is, maar ook bij grote getallen en delers is het gemakkelijk te begrijpen. De delers 1 t/m 13 zullen nu stuk voor stuk worden behandeld:

DELER 1


Alle getallen zijn deelbaar door 1

DELER 2


Je deelt het laatste cijfer door 2 en als dat lukt, is het hele getal ook deelbaar door 2.


UITLEG: Elk getal is een veelvoud van 10 plus zoveel eenheden als het laatste cijfer aanwijst. Elk veelvoud van 10 is deelbaar door 2, zodat, indien het laatste cijfer van een getal door 2 deelbaar is, het getal zelf ook door 2 deelbaar is.

DELER 3


Je telt alle cijfers van het getal op en als die som deelbaar door 3 is dan is het eerste getal dat ook.


UITLEG: Een getal is deelbaar door 3, indien de som van de cijfers deelbaar is door 3. Om dit te bewijzen, moet je eerst het volgende begrijpen:

1000 = 999 +1

100 = 99 +1

10 = 9 + 1, in elk voorbeeld hebben we een veelvoud van 3 plus 1.


Dit komt overeen met:

5000 = een veelvoud van 3, plus 5

400 = een veelvoud van 3, plus 4

20 = een veelvoud van 3, plus 2

zodat: 5420 = een veelvoud van 3, plus 2 + 4 + 5; Als 2 + 4 + 5 niet deelbaar is door 3, dan is 5420 het ook niet.

DELER 4


Je neemt de laatste twee cijfers van het getal en als die deelbaar door 4 zijn, is het eerste getal dat ook.


UITLEG: Elk getal is een veelvoud van 100 plus tientallen en eenheden. Elk veelvoud van 100 is deelbaar door 4, zodat, indien het getal gevormd door de laatste twee cijfers deelbaar door 4 is, het getal dat zelf ook is. Als je een getal door 4 deelt is dat hetzelfde als dat getal delen door 2 en dan weer door 2, dus als de laatste twee cijfers twee keer deelbaar door 2 zijn dan is het gehele getal deelbaar door 4.

DELER 5


Als het getal op een 0 of een 5 eindigt, dan is het deelbaar door 5.


UITLEG: Als het laatste cijfer van een getal een 0 of een 5 is, dan moet het getal deelbaar zijn door 5, want elk getal is een veelvoud van 10 plus een aantal eenheden. Elk veelvoud van 10 is deelbaar door 5, dus het laatste cijfer moet een 0 of 5 zijn.

DELER 6


Een getal kun je door 6 delen als de deelbaar door 3 is én het even is.


UITLEG: Een getal is deelbaar door 6 als het (a) even is; (b) de som van de cijfers deelbaar is door 3. De redenen hiervoor staan bij de delers 2 én 3. Belangrijk is nog om het volgende te weten: óf je een getal deelt door 6 óf je hetzelfde getal deelt door 2 en vervolgens door 3, het resultaat hetzelfde blijft.

DELER 7


De kenmerken van deelbaarheid door 7 zijn dezelfde als die van 13, dus kun je beter bij deler 13 kijken.

DELER 8


Een getal is deelbaar door 8 als de laatste drie cijfers door 8 deelbaar zijn. Door acht deelbaar zijn, betekent ook deelbaar zijn door 2 én door 4. Dus als de laatste drie cijfers deelbaar zijn door 2 én door 4 is het getal deelbaar door 8.


UITLEG: Elk getal is een veelvoud van 1000 plus de laatste drie cijfers (honderdtallen, tientallen en eenheden). 1000 is een veelvoud van 8, zodat als het getal gevormd door de laatste drie cijfers deelbaar is door 8, het gehele getal dat ook is.

DELER 9


Als de som van de cijfers van het getal deelbaar door 9 is, is het getal dat ook. Je kunt ook het volgende beredeneren: delen door negen is hetzelfde als twee keer delen door drie, dus als de som van de cijfers van een getal twee keer deelbaar door 3 is, is het getal dus ook deelbaar door 9.


UITLEG: De kenmerken van deelbaarheid door 9 zijn dezelfde als die van de deelbaarheid door 3:

1000 = 999 + 1

100 = 99 + 1

10 = 9 + 1, is elk voorbeeld hebben we een veelvoud van 9, plus 1.


Dit komt overeen met:

6000 = een veelvoud van 9, plus 6

500 = een veelvoud van 9, plus 5

30 = een veelvoud van 9, plus 3

zodat: 6537 = een veelvoud van 9, plus (6 + 5 + 3 + 7); Als (6 + 5 + 3 + 7) deelbaar door negen is, is het gehele getal dat ook.

DELER 10


Elk getal, dat op nul eindigt, is deelbaar door tien.


UITLEG: Per definitie is een getal, dat op nul eindigt een veelvoud van 10, zonder toevoeging van eenheden, en dus deelbaar door 10.

DELER 11


Als de som van de cijfers op de oneven plaatsen van een getal min de som van de cijfers op de even plaatsen van een getal nul of een veelvoud van 11 is, dan is het getal deelbaar door 11.


UITLEG: Een getal is deelbaar door 11, als de som van de cijfers op de oneven plaatsen, verminderd met de som van de cijfers op de even plaatsen een veelvoud van 11 of gelijk aan nul is.


10.000 = 9.999 + 1 = een elfvoud + 1

1.000 = 1.001 - 1 = een elfvoud - 1

100 = 99 + 1 = een elfvoud + 1

10 = 11 - 1 = een elfvoud - 1


50.000 = een elfvoud + 5

7.000 = een elfvoud - 7

600 = een elfvoud + 6

50 = een elfvoud - 5

zodat: 57.650 = een elfvoud + (5 + 6) - (7 + 5), als (5 + 6) - (7 + 5) deelbaar is door 11, is het gehele getal deelbaar door 11. In dit voorbeeld dus niet.

DELER 12


Is een getal zowel deelbaar door 3 én door 4, dan heb je te maken met een getal dat door 12 deelbaar is.


UITLEG: Het getal moet deelbaar door 3 én door 4 zijn, want delen door 3 en dan door 4 (of omgekeerd) is hetzelfde als delen door 12.

DELER 13


UITLEG: Vreemd genoeg zijn de deelbaarheidskenmerken van de delers 7 en 13 precies dezelfde. Om de deelbaarheidskenmerken van de delers van 7 en 13 te bepalen, moet je het getal splitsen in groepjes van drie cijfers (rechts beginnen!). Deze groepen worden dan afwisselend opgeteld en afgetrokken tot een getal van 3 of minder cijfers overblijft. Als dit overblijvende getal deelbaar is door 7 of 13, is het oorspronkelijke getal dat dus ook. Is de rest 0, dan is het oorspronkelijke getal deelbaar door 7 én door 13.


VOORBEELD:

het getal 510300 wordt verdeeld in groepen: namelijk 510 én 300. + 510 - 300 = 210. 210 is deelbaar door 7 (210 : 7 = 30), dus 510300 ook. 210 is niet deelbaar door 13 (210 : 13 = 16,153), dus is 510300 niet deelbaar door 13.

het getal 947700 wordt gedeeld in groepen: 947 én 700. + 947 - 700 = 247. 247 is niet deelbaar door 7 (247 : 7 = 35,285), dus is 947700 dat ook niet. 247 is wél deelbaar door 13 (247 : 13 = 19), dus je kunt 947700 delen door 13.

het getal 151632 verdeelt je in 151 én 632; + 151 - 632 = - 481. -481 is deelbaar door 13 en dus is 151632 dat ook. Of het overblijvende getal nu positief of negatief is; het resultaat blijft hetzelfde.

klik hier voor een duidelijk tabel met factoren van 7 en 13.

klik hier om de lijst te downloaden als Excell-bestand.


Deze kenmerken worden pas bekend nadat ontdekt was, dat de meetkundige reeks: 103 106 109 1012 1015 enz..., waar elke term uit de voorgaande ontstaat door vermenigvuldiging met 103, in zoverre merkwaardig is, dat wanneer we ofwel een term optellen bij 1 ofwel er 1 van aftrekken, dit een veelvoud van 7 of 13 oplevert.

103 + 1 = 1.001 = 7 · 13 · 11

106 - 1 = 99.999 = 7 · 13 · 10.989

109 + 1 = 1.000.000.001 = 7 · 13 · 10.989.011

Dit kenmerk is natuurlijk alleen maar nuttig bij zeer grote getallen. Een bepaalde type getal kan echter onmiddelijk herkend worden als zijnde deelbaar door 7 en door 13. Een dergelijk type getal is van het type ´abcabc´, waarin kennelijk abc - abc = 0. Zo is 176.176 zowel deelbaar door 7 als door 13. Hierbij moet nog opgemerkt worden, dan in de vorm ´abcabc´ a òf b òf c òf twee daarvan nullen mogen zijn. 17.017 kan men lezen als 017.017 en 6.006 als 006.006, zodat ze beide tot het type ´abcabc´ behoren en het zijn dan ook veelvouden van 7 én van 13.

ANDERE DELERS


Als je wilt weten of een getal deelbaar is door 14 dan moet je kijken of het eerst door 7 én dan door 2 deelbaar is )of omgekeerd, want 1/2 * 1/7 = 1/14. Dat geldt ook voor 15: delen door 15 is hetzelfde als eerst delen door 3 én dan door 5, want 1/3 * 1/5 = 1/15. Dus als je wilt weten of 1.002 deelbaar is door 40, ga je eerst 40 splitsen in factoren: 40 = 2 * 4 * 5. Dus als 1.002 eerst deelbaar is door 2, dán door 4 én dan nog door 5 (of in elke willekeurige volgorde), dan is 1.002 ook deelbaar door 40. Is 1.002 deelbaar door 40?


Dat splitsen in factoren werkt in de meeste getallen; soms is het zo moeilijk om de factoren uit je hoofd uit te rekenen, en/of zijn de getallen zo groot dat het niet menselijk meer is om die uit te rekenen. Je kunt dan een rekenmachine gebruiken, maar dan ga je voorbij het herkennen van de kenmerken van deelbaarheid (de bedoeling is dat je het gewoon met je blote hoofd doet) en met een rekenmachine toets je gewoon de deling in als je slim (lui dus) bent en vergeet je deze kenmerken.