Hoeveel kaarten heb je nodig om een kaartenhuis te bouwen van een bepaalde hoogte?

TERUGdiversen_menu.html

Hoe bouw je een kaartenhuis? Dat is best simpel, je hebt alleen bakken geduld nodig en natuurlijk een pak kaarten. Het principe van het bouwen een kaartenhuis gaat als volgt: je zet twee kaarten schuin tegen elkaar (dat zijn de rode kaarten), dan leg je een andere (hier blauw) op de toppen. Zo ga je door tot het kaartenhuis af. De interessante vraag is nu hoeveel kaarten je nodig hebt om een kaartenhuis van een bepaalde hoogte te

bouwen. Hieronder zie je enkele voorbeelden van verschillende kaartenhuizen met hoogte en het aantal kaarten dat je nodig zult hebben om die te bouwen.

Stel dat we nu een kaartenhuis willen bouwen met een hoogte van 600; dan heb je heel veel kaarten nodig, maar hoeveel? We zullen dus een formule moeten maken, die dat kan uitrekenen. Zo kunnen we ook het aantal kaarten uitrekenen voor een hoogte van 602; of zelfs omgekeerd: hoe hoog kan ik een kaartenhuis bouwen met 4000 kaarten? Laten we beginnen!

Een formule heeft variabelen; deze formule dus ook, voor de hoogte kiezen we h en voor het aantal kaarten n. We zetten van combinaties (h, n) op een rijtje:

♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎

Zo´n rijtje maakt je door verschillende kaartenhuizen te tekenen en dan gewoon te tellen.


Zou je een verband zijn tussen de verschillende n waarden?


Dat moet we onderzoeken:

Achter ons lijstje zetten we het verloop, door de stappen erachter te zetten.



We zien nu een verband! Het is dus een zoveelste graadsfunctie:


  1. als het een eerste graadsfunctie (h = an + b) zou zijn, dan zou de eerste afgeleide functie () constant moeten zijn;

  2. als het een tweede graadsfunctie (h = an2 + bn + c) zou zijn, dan zou de tweede afgeleide functie (n´´) constant moeten zijn;

  3. als het een derde graadsfunctie (h = an3 + bn2 + cn + d) zou zijn, dan zou de derde afgeleide functie (n´´´) constant moeten zijn;

  4. als het een vierde graadsfunctie (h = an4 + bn3 + cn2 + dn + e) zou zijn, dan zou de vierde afgeleide functie (n´´´´) constant moeten zijn;

  5. enz ... ...

De tweede afgeleide functie (n``) is constant (+3), dus onze formule heeft de vorm van een tweede graadsfunctie: h = an2 + bn + c. Nu moeten we alleen nog de waarden van a, b, en c te weten te komen. Voor het gemak schrijven we de vorm anders met x en y: y = ax2 + bx + c.


Eerst maken we weer een lijstje:

♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎♥︎♦︎♠︎♣︎

Vervolgens zetten we de standaard-formule erachter:

We hebben nu drie vergelijkingen mét drie variabelen en die kunnen we oplossen; dat doe je door deze formules met elkaar te combineren. Klik HIER om je zien hoe je dat kunt doen. Er zijn verschillende manieren om dat te doen.


We krijgen dan de oplossing: a = 1½, b = ½ en c = 0.


Laten we de waarden van a, b en c invullen in de standaard-formule van een tweede graadsvergelijking: y = ax2 + bx + c: (de nul laten we weg)

We wisselen de variabelen y weer terug naar h; en de x verwisselen we weer voor de n. Dan krijgen we:

Bovenstaande formule is de formule om het aantal kaarten (n) te berekenen als je de hoogte (h) weet. Laten we de formule testen of die wel klopt.

h = 1    =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 12 + ½ ∙ 1 = 1½ + ½ =  2 kaarten

h = 2    =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 22 + ½ ∙ 2 = 6 + 1 =  7 kaarten

h = 3    =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 32 + ½ ∙ 3 = 13½ + 1½ = 15 kaarten

h = 4    =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 42 + ½ ∙ 4 = 24 + 2 = 26 kaarten

h = 5    =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 52 + ½ ∙ 5 = 37½ + 2½ = 40 kaarten

h = 6    =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 62 + ½ ∙ 6 = 54 + 3 = 57 kaarten

h = 7    =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 72 + ½ ∙ 7 = 73½ + 3½ = 77 kaarten


HET KLOPT!

We vroegen ons eerder af hoeveel kaarten je nodig hebt om een kaartenhuis te bouwen van 600 én 602 hoog:


h = 600   =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 6002 + ½ ∙ 600 = 540000 + 300 = 540300 kaarten;

h = 602   =>    n = 1½ h2 + ½ h = 1½ ∙ 6022 + ½ ∙ 602 = 540606 + 301 = 540907 kaarten.


Wat we ons ook afvroegen was als we 4000 kaarten hadden, hoe hoog het kaartenhuis zou zijn?

OMGEKEERD

We hebben dus 4000 kaarten. Hoe hoog zou een te bouwen kaartenhuis zijn? Je kunt dan in de formule, die we gemaakt

hebben, de waarde van n en die is hier 4000 invullen en dan vervolgens de overgebleven variabele h oplossen.


Hiernaast staat de berekening van de formule in de vorm „n = ...“ naar de vorm „h = ...“. Laten we deze invullen dat is gemakkelijker.

n = 4000    =>    h = -1/6 + 1/6 ∙ √ (24 ∙ 4000 + 1) = -0,17 + 309,84 = 309,67


Het kaartenhuis wordt dus 309 hoog.