Welke afstand legt een bal af tijdens het stuiteren?

TERUGdiversen_menu.html

We laten een bal los van een bepaalde afstand boven de grond. Deze bal zal eerst naar beneden vallen en dan terug omhoog gaan en daarna van die afstand weer naar beneden vallen en zo door... Dit gaat eeuwig door, want we gaan ervan uit dat er geen wrijving is. In de praktijk zal de bal wel uiteindelijk stoppen.

Laten we beginnen met een voorbeeld:


We laten een bal vallen van een beginhoogte van 2 meter en stuitert steeds met 20% terug omhoog; dus met factor 0,2 of 1/5.

Eerst valt de bal omlaag en wel: 2 m; dan stuiter de bal omhoog en wel: 0,4 m, zie de berekening hier links. Dus tijdens de eerste val (omlaag en weer terug omhoog) legt de bal 2,4 m ( = 2 + 0,4) af.

Dan valt de bal omlaag en wel: 0,4 m; dan stuiter de bal omhoog en wel: 0,08 m, zie de berekening hier rechts. Dus tijdens de tweede val (omlaag en weer terug omhoog) legt de bal 0,48 m ( = 0,4 + 0,08) af.

Dan valt de bal omlaag en wel: 0,08 m; dan stuiter de bal omhoog en wel: 0,016 m, zie de berekening hier boven. Dus tijdens de derde val (omlaag en weer terug omhoog) legt de bal 0,096 m ( = 0,08 + 0,016) af.

Dan valt de bal omlaag en wel: 0,016 m; dan stuiter de bal omhoog en wel: 0,0032 m, zie de berekening hier boven. Dus tijdens de vierde val (omlaag en weer terug omhoog) legt de bal 0,0192 m ( = 0,016 + 0,0032) af.

Zo kun je eindeloos doorgaan, laten we dat maar niet doen; dat lijkt me behoorlijk saai en zinloos. Het gaat erom dat je het idee krijgt van het systeem, de algoritme. Je ziet het verloop van de machten. Als je zou willen weten hoeveel de bal aflegt in de honderdste val, neem je de machten 99 en 100: De afstand is dan 1,52 ∙ 10-69 m en dat is werkelijk heel weinig.

We gaan nu een algemene formule maken; ofwel een algemene algoritme.


  1. We kiezen voor de begin-valafstand nu x i.p.v. 2;

  2. De factor waarmee de bal steeds terug omhoog stuitert noemen we 1/n, i.p.v. 1/5;

  3. Tenslotte voeren we de variabele m in; je hebt dan de macht m-1 voor de afstand omlaag en de macht m voor afstand omhoog; m staat ook de de mde val.

Wiskunde vind ik een soort van kunst dus schrijven we de formule nog mooier!

Laten we de formule eens testen:

We kunnen nu uitrekenen welke afstand de bal aflegt per aparte val, maar wat is de afstand voor de hele val; dus de hele oneindige beweging?

We weten dat de totale afstand (die ik a zal noemen), bestaat uit alle bewegingen van alle „vallen“ van de bal. Dat zie je duidelijk in onderstaande afbeelding. Vervolgens vullen we de formule in die we uitgerekend hebben in voor elke h; eveneens kun je dat hier beneden zien.

Dan voegen we deze hoogte-formules samen in een sommatie; dat staat netjes en is korter. Nu volgt meer uitleg!

totale afstand

is

de som

van 1 voor m

tot

oneindig

voor deze

term

de totale afstand a is de som van 1 voor m tot oneindig voor deze term

Toen ik bovenstaande sommatie met een computerprogramma aan het onderzoeken en het ontleden was, kwam er iets (in mijn ogen) vreemds uit:

Deze ingewikkelde sommatie is dus heel veel simpeler te schrijven!; alleen kan ik dit niet wiskundig uitleggen. Weet u/jij het wel? Stuur mij hoe je het doet; dat zou ik geweldig vinden!

STUUR MIJ EEN EMAIL
WAAROM HET ZO ISmailto:basboschman@megawetenschap.nl?subject=STUITERBAL%20UITLEG

CONCLUSIE :

Als je een bal laat stuiteren van een valhoogte x en die bal komt steeds 1/n deel terug gestuiterd, zal de totale afstand die de bal beweegt (a) zijn: