Tweede- en Derdegraadsvergelijkingen

TERUGHome.html

Tweede- en Derdegraadsvergelijkingen

OPLOSSEN VAN TWEEDE EN DERDE GRAADSVERGELIJKINGEN

HET OPLOSSEN VAN TWEEDEGRAADSVERGELIJKINGEN


Het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen (ook wel vierkantsvergelijkingen genoemd) kan op verschillende manieren:


  1. 1.ontbinden in factoren;

  2. 2.ABC-formule;

  3. 3.herleiden naar nul.

Alle tweedegraadsvergelijkingen kun je met de laatste twee manieren oplossen. Sommige kun je oplossen door de vergelijking te ontbinden in factoren; dat is de eerste manier.



ONTBINDEN IN FACTOREN


Ontbinden in factoren is de gemakkelijkste manier, die echter niet voor alle tweedegraadsvergelijkingen werkt. Allereerst moet je dus weten wanneer je deze manier voor het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen kan gebruiken. Ontbinding in factoren gaat met tweedegraadsvergelijkingen van de vorm:


  1. 1.x2 + (p + q)x + pq = 0;

  2. 2.x2 + 5x + 6 = 0 is van die vorm, want je kunt het ook schrijven als x2 + (2 + 3)x + 2 · 3 = 0;

  3. 3.x2 + 7x + 12 = 0 is van die vorm, want je kunt het ook schrijven als x2 + (3 + 4)x + 3 · 4 = 0;

  4. 4.x2 + 3x - 10 = 0 is van die vorm, want je kunt het ook schrijven als x2 + (5 + -2)x + 5 · -2 = 0;

  5. 5.x2 + x + 1 = 0 is niet van die vorm, want er zijn géén twee factoren van 1 die opgeteld 1 zijn samen.


Uit voorbeeld 5 blijkt dat je bij ontbinding in factoren op zoek gaat naar twee getallen die samen de som hebben van het getal voor de x én samen het produkt hebben van het ´losse´ getal. Bij voorbeeld 4 moet je dus als volgt te werk gaan om de vergelijking op te lossen: je zoekt naar twee getallen, die de som van 3 hebben en het produkt -10 vormen. Dat doe je zo:


  1. 1.je zet een aantal paren van factoren van -10 in een tabel;

  2. 2.de som van die factoren schrijf je achter de factoren;

  3. 3.het blijkt dat de twee getallen: -2 en 5 voldoen aan de voorwaarden: dat de som 3 is en het produkt -10;

  4. 4.je kunt de vergelijking x2 + 3x - 10 = 0 dan schrijven als de vergelijking (x – 2)(x + 5) = 0;

  5. 5.een tweedegraadsvergelijking heeft twee oplossingen. In (x – 2)(x + 5) = 0 moet (x – 2) en/of (x + 5) nul zijn, want iets keer nul is nul, nul keer iets is nul en nul keer nul is nul. We schrijven dan:

x2 + 3x - 10 = 0


(x – 2)(x + 5) = 0


x – 2 = 0 of x + 5 = 0


x = 2 of x = -5

De twee oplossingen zijn dan: x = 2 en x = -5.



Bij de vergelijking x2 + 4x + 4 = 0 gaat dat als volgt:

x2 + 4x + 4 = 0

(x + 2)(x + 2) = 0

x = -2 of x = -2

dus de oplossing is: x = -2.


Er zijn hier ook twee oplossingen: namelijk twee dezelfde oplossingen, maar je kunt gewoon zeggen, er is één oplossing: x = -2.

ABC-FORMULE


Als je geen bijbehorende getallen kunt vinden, moet je de ABC-formule gebruiken. De ABC-formule lost alle tweedegraadsvergelijkingen op van de vorm:


ax2 + bx + c = 0.


We beginnen meteen met een voorbeeld: x2 + 3x - 10 = 0. Voor de x2 staat eigenlijk het getal 1, dus a = 1. Verder is b = 3 en c = -10. Eerst beginnen we de zgn. ´discriminant´ en die is D = b2 – 4ac.


D = b2 – 4ac =  32 – 4 · 1 · -10 = 9 + 40 = 49.


Als de discriminant D > 0, dan zijn er twee (verschillende) oplossingen. Als D = 0, dan is er één oplossing (twee dezelfde!) en als D < 0, dan zijn er géén oplossingen (géén oplossing is wiskundig gezien ook een oplossing!). Verder met ons voorbeeld:


D = 49 én D > 0, dus er zijn twee oplossingen.


De eerste en de tweede oplossingen volgens de ABC-formule zijn:

We vullen nu a, b en c in: (a = 1; b = 3; c = -10)

Er zijn twee oplossingen: x = -5 en x = 2.


Nu volgt een voorbeeld, waarin de discriminant D = 0. We nemen de vergelijking: x2 + 4x + 4 = 0:


x2 + 4x + 4 = 0 (a = 1; b = 4; c = 4)


D = b2 – 4ac =  42 – 4 · 1 · 4 = 16 – 16 = 0 (D = 0, één oplossing)


x1 = (-4+0)/2 = -2; x2 = (-4-0)/2 = -2


dus x = -2.


Nu een voorbeeld met D < 0. De vergelijking is x2 + 3x + 5 = 0:


x2 + 3x + 5 = 0 (a = 1; b = 3; c = 5)


D = b2 – 4ac =  32 – 4 · 1 · 5 = 9 – 20 = -11 (D < 0, géén oplossing)


D < 0, dus géén oplossingen.


Nog één voorbeeld: met de vergelijking 2x2 + x - 7 = 0:


2x2 + x - 7 = 0 (a = 2; b = 1; c = -7)


D = b2 – 4ac =  12 – 4 · 2 · -7 = 1 + 56 = 57 (D > 0, twee oplossingen)

HERLEIDEN NAAR NUL


Je kunt de algemene tweedegraadsvergelijking ax2 + bx + c = 0 ook zonder de ABC-formule oplossen. Je kunt dan ook alle tweedegraadsvergelijkingen met deze manier oplossen. We passen deze manier eerst toe op de algemene vorm:

Je krijgt dan de ABC-formule! Als je getallen gebruikt, dan werkt het ook:


½x2 + 5x + 8 = 0


(zorg ervoor dat er voor de x2 een 1 staat);


x2 + 10x + 16 = 0


(verander het ´losse´ getal 16 in het kwadraat van de helft van 10 en maak de vergelijking kloppend);


x2 + 10x + 25 = 9


(zet het linkerlid tussen haakjes);


(x + 5)2= 9


(zet het rechterlid in het kwadraat met haakjes, als dat niet gaat omdat er een negatief getal is, is er géén oplossing);


(x + 5)2= (± 3)2


(splits het linkerlid in twee stukjes en los de vergelijking op)


x1 + 5 = -3 => x1 = -8

x2 + 5 =  3 => x2 = -2

HET OPLOSSEN VAN DERDEGRAADSVERGELIJKINGEN


Het oplossen van derdegraadsvergelijkingen (ook wel kubische vergelijkingen) is ingewikkelder, maar wel te doen:


x3+ ax2+ bx + c = 0


de ´gereduceerde´ vergelijking is:


z3 + pz + q = 0,met p = -⅓a2 + b en q = 2/27 a3 – ⅓ab + c


de discriminant bij derdegraadsvergelijkingen is:


D = (  ½ q)2 + ( ⅓ p)3


als:

D > 0, dan is er één reële wortel en twee toegevoegd complexe wortels;

D = 0, dan zijn er drie reële wortels, waarvan er minstens twee gelijk zijn;

D < 0, dan zijn er drie reële wortels.


D > 0


z3 + pz + q = 0


z1= u + v;

z2= -½(u + v) + ½i√3(u – v);

z3= -½(u + v) + ½i√3(u + v);


met u = 3√(-½ q + √D)  u = 3√(-½ q - √D)


x1 = z1 – ⅓ a;x2 = z2 – ⅓ a;x3 = z3 – ⅓ a.


D = 0


z3 + pz + q = 0


z1 = -2 · 3√(½ q); z2 = z3 = 3√(½ q)


x1 = z1 – ⅓ a;x2 = z2 – ⅓ a;x3 = z3 – ⅓ a.


D < 0


z3 - pz + q = 0


Let op: als D < 0, dan verandert de gereduceerde formule!


z1 = -2 · √(⅓ p) · COS(⅓ φ);

z2 = -2 · √(⅓ p) · COS(120° - ⅓ φ);

z3 = -2 · √(⅓ p) · COS(120° + ⅓ φ).


met: