Getallenstelsels

TERUGHome.html
Kunnen getallen imaginair zijn?

Kunnen getallen imaginair zijn?

Imaginaire getallen

Imaginaire getallen

Imaginaire getallen zijn getallen die niet bestaan, maar omdat ze een betekenis hebben (gekregen) kun je deze getallen wel gebruiken, óók in het dagelijks leven en natuurlijk in de wetenschap. Dus zodra een imaginair getal een nut of betekenis krijgt, kun je zo´n imaginair gewoon gebruiken; het is zelfs mogelijk in de wetenschap (lees: wiskunde) om te rekenen met getallen die géén nut hebben, maar alleen een betekenis.

Waar kun je in het leven imaginaire getallen vinden? Gebruiken we deze imaginaire getallen zonder te weten dat ze imaginair zijn?


Stel we hebben een fruitschaal met daarop 5 sinaasappelen. Iemand heeft zin in 2 sinaasappelen en pakt die ook. Hoeveel blijven er over? Dat zijn er 3 (= 5 - 2). Nu heeft deze persoon zin in 4 sinaasappelen; dus blijft er slechts 1 (= 5 - 4) over. Als er nu 5 sinaasappelen worden gepakt, blijft er niets over; of 0 sinaasappelen (= 5 - 5). Stel dat die persoon geen trek heeft, dan pakt hij wiskundige gezien 0 sinaasappelen. Dan blijven er 5 (= 5 - 0) stuks over.

5 - 2 = 3

5 - 2 = 3

5 - 4 = 1

5 - 4 = 1

5 - 5 = 0

5 - 5 = 0

5 - 0 = 5

5 - 0 = 5

Banktransacties


Op onze bankrekening staat (links in het plaatje) een bedrag van 12€. We pinnen 5€; hoeveel zou er over blijven op onze bankrekening? Dat is 7€, want 12 - 5 = 7.

Er staat weer 12€ op de bank, maar nu pinnen we een bedrag van 10€. We houden dus op onze bankrekening een bedrag van 2€ over; 12 - 10 = 2.

We kunnen ook 12€ pinnen; dan houden we niets over: 12 - 12 = 0. Of als we niet pinnen (dus 0€ pinnen), houden we 12€ over op onze bankrekening.


In de beide voorbeelden (met de fruitschaal én de bankrekening) zagen we dat we uitkwamen op negatieve getallen. In het eerste voorbeeld zouden we uitkomen op -2 (= 5 - 7) sinaasappel, wat natuurlijk onzin is en wat helemaal geen betekenis heeft. Het heeft dus geen betekenis en is dus niet zinvol. In het laatste voorbeeld van de bankrekening was er ook sprake van negatieve getallen. Het is natuurlijk onmogelijk om -8€ te kunnen bezitten, maar door de betekenis van „een schuld bij de bank“ maakt het het mogelijk dat de imaginaire -8€ een zinvolle betekenis krijgt. Je kunt er dus meerekenen, omdat het iets betekent. Als je bijvoorbeeld 10€ zou storten op je rekening, waar nu nog -8€ op staat, zou je komen op 2€ (= 10 + (-8) = 10 - 8).

12 - 5 = 7

12 - 5 = 7

12 - 10 = 2

12 - 10 = 2

12 - 12 = 0

12 - 12 = 0

12 - 0 = 12

12 - 0 = 12

Maar nu heeft deze persoon heel veel trek en wil maar liefst 7 sinaasappelen opeten; terwijl er maar 5 zijn. Hoe je het ook wendt of keert, dat gaat niet lukken!

5 - 7 = ?

5 - 7 = ?

12 - 20 = -8

12 - 20 = -8

Wiskundig gezien!


In beide voorbeelden zijn we steeds uitgegaan van positieve gehele getallen (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...), als we dit in de wiskunde zouden toepassen hebben we een probleem:


  1. Stel: x - 2 = 0; de oplossing is 2, want 2 - 2 = 0. Deze vergelijking is op te lossen met de positieve getallen, waar we vanuit gingen; geen enkel probleem dus;


  1. Stel: x + 2 = 0; de oplossing is -2, want -2 + 2 = 0. Zonder de „imaginaire“ negatieve getallen bij de „bestaande“ wiskunde toe te voegen, zouden we maar de helft van de vergelijkingen kunnen oplossen, dus zijn de negatieve getallen opgenomen in de wiskunde, want we hebben we betekenis gekregen. Die betekenis is het oplossen van „alle“ vergelijkingen van deze soort.

Vierkantsvergelijkingen én de imaginaire „i“


Vierkantsvergelijkingen zijn vergelijkingen van de vorm ax2 + bx + c = 0. Zo´n vergelijking heeft de macht 2 als hoogste macht. Enkele voorbeelden van vierkantsvergelijkingen:


  1. x2 = 1;

  2. x2 + 6x + 5 = 0;

  3. x2 - 2x + 4 = 0;

  4. 2x2 - 4 = 0.


Stel: x2 - 16 = 0


De oplossing:

    x2 - 16 = 0

    x2  = 16

    x1= -√16 ⋁ x2= √16

    x1= -4     ⋁ x2= 4

    ⎨-4, 4⎬


We zien x2 = 16 staan, als we een negatief getal (-4) invullen voor x krijgen we een positief getal, want  -∙- = +. Als we een positief getal invullen (4) voor x , dan krijgen we ook een positief getal, want + ∙ + = +.


Nu hebben we het vergelijking: x2 + 16 = 0, met de oplossing hieronder:


x2 + 16 = 0

x2 = -16

en nu?


We moeten dus een getal voor x invullen dat in het kwadraat negatief is, maar we weten nu dat dat niet kan. Elk getal in het kwadraat is positief, hebben we geleerd. Of beter gezegd: elk getal, wat we tot nu kenden, is het kwadraat is positief.

Hoe gaat we dit oplossen?


We hebben al negatieve getallen verzonnen, maar nu moeten we echt diep gaan met ons voorstellingsvermogen. De volgende oplossing is bedacht:


i2 = -1.


Uit i2 = -1 volgt dat: i = √-1; i is een imaginair getal.


Dat is de oplossing om bijvoorbeeld x2 = -1 op te kunnen lossen.


x2 = -1

x1= -√-1 ⋁ x2= √-1

x1= -i ⋁ x2= i


Door de invoering van i2 = -1, kunnen we nu alle vierkantsvergelijkingen (en meer) oplossen. We hebben dus een oplossing voor het probleem om een getal te vinden dat in het kwadraat negatief is, dat is i2 = -1.


Hoe lossen we nu x2 + 16 = 0 op?


x2 + 16 = 0

x2 = -16

x1 = -√-16 ⋁ x2 = √-16

x1 = -1 ∙ √16 ∙ √-1  ⋁ x2 =  √16 ∙ √-1

x1 = -1 ∙ 4 ∙ i  ⋁ x2 =  4 ∙ i        (want i2 = -1, en dus i = √-1)

x1 = -4i  ⋁ x2 =  4i


-4i, 4i⎬


Controleren met -4i: (-4i)2 = (-1)2 ∙ (4)2 (i)2 =  1 ∙ 16 ∙ -1 = -16 (klopt!)

Hierboven zie je een zogenaamde getallenlijn. Op deze getallenlijn zie je alle reële getallen staan.

We hebben nu het getal +2, of in gewoon Nederlands het getal 2, toegevoegd. Zie de blauwe pijl.

Nu hebben we onder de reële getallenlijn ook de imaginaire getallenlijn toegevoegd. Je ziet dat op die imaginaire getallenlijn er geen „normale getallen“ staan, maar dat de imaginaire eenheid i gebruikt wordt.

Je ziet weer de reële getallenlijn én de imaginaire getallenlijn. We hebben het reële getal -3 (de blauwe pijl) en het imaginaire getal 4i (de rode pijl) toegevoegd.

Nu hebben we de imaginaire as gedraaid, zodat we assenstelsel krijgen.

In dat assenstelsel hebben we wederom de getallen -3 (blauw) én 4i (rood) toegevoegd. Net als eerst; zie de afbeelding hier onder.

We bepalen het punt waar -3 en 4i samenkomen.

We trekken voor de mooiheid en duidelijkheid een lijntje van dat punt naar het punt waar de assen elkaar snijden.

Wat is er nu gebeurd?


Er is een nieuw soort getal geboren! Dit getal is een combinatie van een reëel getal én een imaginair getal. Een getal met een reëel deel én een imaginair deel. De naam van dit getal is een complex getal.


Niet alle vergelijkingen geven óf een reële oplossing óf een imaginaire oplossing, meestal is het een combinatie van beiden. Er komt dus meestal een complex getal uit. De algemene vorm van een complex getal is: a + bi. a is het reële deel en bi is het imaginaire deel; let wel op dat zowel a als b reële getallen zijn. Hieronder staan enkele voorbeelden van complexe getallen:

  1. 2 + 3i;

  2. 1 + 4i

  3. 4 - 2i

  4. -1 + i.

Als we de onderstaande vergelijking oplossen, komt er een complex getal uit. Laten we het eens proberen:

(½ x - ½)2 = -1

½ x - ½ = ±√-1

½ x - ½ = ± i

½ x     = ½ ± i

x = 1 ± 2i ⋙ x1 = 1 - 2i ∨ x2 = 1 + 2i

Complexe getallen


Nu volgt een korte herhaling:


Het getal i wordt imaginair genoemd; je zegt i is imaginair, dus is -2i én 2i dat ook. Het getal 1 is de „tegenhanger“ van imaginair en heet „reëel“. Bovenstaande oplossing (1 ± 2i) bestaat uit een reëel deel (de 1) en een imaginair deel (±2i); we weten nu dat zo´n oplossing een complex getal is. De algemeen vorm van een complex getal is a + bi, a is het reële deel en bi het imaginaire deel. Zoals eerder gezegd zijn a en b reële getallen. We kunnen daarom een complex getal dan ook tekenen in een assenstelsel om zo het getal te illusteren.

Dimensies en getallen


Alle reële getallen staan op een getallenlijn. Zie onder:

Ze kunnen er zoals eerder al gedaan er een imaginaire getallenlijn aan toevoegen:

Hieruit volgt dat reële getallen één-dimensionaal zijn, want ze staan maar op één lijn. Je kunt dus zeggen dat complexe getallen twéé-dimensionaal zijn, omdat ze op een vlak zich bevinden (x en y, hoogte en breedte, a en b). Reële getallen worden alleen door het getal zelf aangeduid en daarom zijn ze ook één-dimensionaal. Complexe getallen worden door twee getallen (reëel en imaginair) aangeduid en daarom zijn ze ook twéé-dimensionaal. Zo´n complex vlak heeft ook wel een zgn. Argend-diagram naar de bedenker ervan: Jean-Robert Argend.


Complexe en imaginaire getallen zijn géén fantasie-verzinsel zonder enig nut, ze hebben ervoor gezorgd dat er een nieuwe stroming in de wiskunde is ontstaan; de complexe analyse. Deze complexe analyse heeft geleid tot de Riemann-hypothese. Een praktische toepassing van complexe getallen is bijvoorbeeld: in het ontwerpen van vliegtuigen en dan in het bijzonder de vleugels ervan. Daar wordt de zogenaamde Joukowski.vleugel gebruikt. Hierbij wordt de omtrek/vorm van deze vleugels zichtbaar, wanneer we ons z voorstellen als een punt in een Argend-diagram dat op een cirkel met straal 1 ligt en we de waarden aangeven voor z + 1/z.

Twee dimensies zijn niet genoeg!


Nadat wiskundigen het concept „getal“ uitgebreid hadden naar negatieve getallen en daarna naar complexe getallen (van de eerste naar de tweede dimensie), vroegen wiskundigen zich af of ze nog een stap verder konden gaan; echt iets voor wetenschappers. De derde dimensie bleek niet mogelijk, maar de vierde wél; de „quaternionen“ zagen het daglicht. Een nieuw soort getallen ontstonden, net als een nieuw stuk algebra.


Een complex getal wordt aangeduid met: a + bi;


Een quaternion (dus een complex getal in de vierde dimensie) wordt aangeduid met: a + bi + cj + dk.


Nu hebben we dus niet één complexe deel naast het reële deel, zoals bij de complexe getallen, maar we hebben er drie: i, j, en k. Er geldt hier ook: i2 = -1, j2 = -1 en k2=-1.

Als complexe getallen al fantasie-vol voelden, dan zijn quaternionen het helemaal. Net als met reële getallen én complexe getallen, kun je ook met quaternionen rekenen:


Optellen en aftrekken:


Reëel: 4 + 3 = 7 ,    6 - 7 = -1


Complexe getallen:


( 2 + i ) + ( 3 + 3i ) = 2 + 3 + i + 3i = 5 + 4i

( 3 + 2i) - ( 4 + i ) = 3 + 2i - 4 - i = -1 + i


Quaternionen:


( 1 + 4i + 3j - 5k ) + ( 3 + i + 2j - k ) = 1 + 3 + 4i + i + 3j + 2j - 5k - k = 4 + 5i + 5j - 6k


( 2 + 2i - j - k) - (-1 - i - j + 2k) = 2 + 2i - j - k + 1 + i + j - 2k = 2 + 1 + 2i + i - j + j - k - 2k = 3 + 3i - 3k


Vermenigvuldigen gaat ietsjes ingewikkelder als je met quaternionen rekent:


Reëel:        2 ∙ 3 = 6 ,    -4 ∙ 3 = -12


Complexe getallen:


( 2 + 3i ) × ( -3 - i ) = 2 × -3 + 2 × -i + 3i × -3 + 3i × -i = -6 - 2i - 9i - 3i2 = -6 - 11i + 3 = -3 - 11i ( i2 = -1 )


Je zag op een gegeven moment bij de complexe getallen het volgende staan: 3i × -i: dat is gelijk aan -3i2 , je weet dat i2 = -1. Dus kun je zeggen: -3i2 = -3 × -1 = 3.


Vermenigvuldigen met quaternionen gaat anders als je misschien wel gewend bent, dus eerst volgt een uitleg:

Hieronder staan alle mogelijkheid bij het rekenen met de verschillende imaginaire delen bij quaternionen:


i × j = k    j × i = -k    i × k = -j    k × i = j    k × j = -i    j × k = i


Andere vermenigvuldigingen met quaternionen:


Vermenigvuldigingen met een reëel getal én een imaginair deel;


3 ∙ i  = 3i    ;    4 ∙ j = 4j    ;    -5 ∙ k = -5k


kwadraten van imaginaire delen (i2 = -1, j2 = -1, k2 = -1)


2i ∙ 3i = 6i2 = 6 ∙ -1 = -6    ;    -4j ∙ 5j = -20j2 = -20 ∙ -1 = 20    ;   

3k ∙ -½k = -1½k2 = -1½ ∙ -1 = 1½


vermenigvuldiging met verschillende imaginaire delen:


k × j = -i


je gaat naar de k op de cirkel

volg de cirkel naar j

het antwoord is het overgebleven imaginaire deel, dus i

het teken is een min, want je gaat tegen de klok in (dus een negatief antwoord)


2k × 6i = 12j


je ziet een 2 en een 6, dus het is iets met 12 (= 2 ∙6)

de twee imaginaire factoren zijn k en i, dus het antwoord is iets met een j

het teken is een plus (positief getal), want van k naar i over de cirkel is met de klok mee

het antwoord is dan de 12 maal j, dus 12j


-5j × 4i = 20k


je hebt een -5 en een 4, het produkt daarvan is -20

de twee imaginaire factoren zijn j en i, dus dát produkt is -k óf k

van j naar i over de cirkel is tegen de klok in, dus dát produkt is -k

het produkt van -20 én -k is weer 20k


Nu hebben we de basis van het vermenigvuldigen met quaternionen en kunnen we vermenigvuldigingen uitrekenen met twee of meer quaternionen:


(3 + i + 2j + 3k) × (1 - 2i + 3j - k) = 2 - 12i + 6j + 7k


(3 × 1) + (3 × -2i) + (3 × 3j) + (3 × -k) + (i × 1) + (i × -2i) + (i × 3j) + (i × -k) + (2j × 1) + (2j × -2i) + (2j × 3j) + (2j × -k) + (k × 1) + (k × -2i) + (k × 3j) + (k × -k) =


3 - 6i + 9j - 3k + i  - 2i2 + 3k + j + 2j + 4k + 6j2 + 2i + 3k - 6j - 9i - 3k2 =


(i2 = -1, j2 = -1, k2 = -1)


3 - 6i + 9j - 3k + i + 2 + 3k + j + 2j + 4k - 6 + 2i + 3k - 6j - 9i + 3 =


2 - 12i + 6j + 7k

Bij het vermenigvuldigen van quaternionen kun je gebruikmaken van een gemakkelijk hulpmiddel: Dat is de afbeelding hier rechts: je ziet een cirkel met daarop de imaginaire delen van de quaternion erop: i, j, en k. Verder moet je nog onthouden dat als je over cirkel met de klok méé beweegt er een positief antwoord komt én als je tégen de klok beweegt er een negatief antwoord uitkomt. Als je i × j wilt uitrekenen, begin je bij de i op de cirkel én gaat over de cirkel naar de volgende factor (dat is hier j). Het antwoord van i × j is k, maar wat is het teken? Je gaat met de klok mee dus wordt het +k, gewoon k dus. Als je daarentegen j × i uitrekent, is het antwoord wederom k, maar het teken is een min, want je begint bij de j en gaat naar de i. Dan is tegen de klok in, dus negatief: j × i = -k.

Het nut


Na onderzoek bleek dat deze imaginaire quaternionen (en ook de octonionen, die later besproken worden) werkelijk een praktisch (reëel, 😄) nut hebben. Er werd ontdekt dat quaternionen gebruikt kunnen worden om een rotatie (draaiing) in drie dimensies te beschrijven. Er werd een verband ontdekt tussen een punt (b, c, d) in een ruimte én het imaginaire deel van een quaternion (bi + cj + dk). Dit verband heeft veel toepassingen: navigatie, robotica, ontwerpen van computerspellen, … ,maar het mooiste van quaternionen is dat er andere soorten algebra zich kenbaar maken; nieuwe wiskunde dus en dat is altijd leuk.

Octonionen, de achtste dimensie


In het begin waren er alleen de reële getallen in gebruik, dus getallen in de eerste dimensie. Daarna gingen we naar de tweede dimensie (complexe getallen) én vervolgens naar de vierde dimensie met de quaternionen. De logische stap is dan om verder te gaan naar de achtste dimensie; eerste dimensie (1 = 20), tweede dimensie (2 = 21), vierde dimensie (4 = 22), vervolgens: achtste dimensie (8 = 23). Getallen in de achtste dimensie heten octonionen óf Cayley-getallen, naar de ontdekker Arthur Cayley. Hij ontwierp deze nieuwe theorie; met deze theorie is het mogelijk om een rotatie te definiëren.


Complexe getallen zien er in het algemeen uit als: a + bi;


Quaternionen als: a + bi + cj + dk;


De algemene vorm van een octonion (symbool w) is: w = a + bi + cj + dk + ep + fq + gr + hs.


Een octonion heeft één reël deel (a) én zeven imaginaire delen (i, j, k, p, q, r en s). Er geldt hier ook weer: i2 = -1, j2 = -1, k2 = -1, p2 = -1, q2 = -1, r2 = -1 en s2 = -1.


Rekenen met octonionen is bijna hetzelfde als rekenen met quaternionen. Optellen en aftrekken is hetzelfde. Vermenigvuldigen gaat een beetje anders, in plaats van de cirkel met drie imaginaire delen (i, j en k) gebruiken we nu een uitbreiding hiervan: het zgn. Fano-vlak.

Als je bijvoorbeeld k × p wilt uitrekenen, ga je naar de lijn in het Fano-vlak waar k én p opstaan. De richting is ook hier weer belangrijk. Het teken is hier +, want je gaat met de pijl mee, je gaat namelijk van van k naar p toe. Dus k × p = s én p × k = -s, want je gaat van p naar k (tegen de pijl in, dus -). Het produkt van van p én k is s, want s ligt op dezelfde lijn als p én k. Zo is het produkt van p én s weer k; en het produkt van q en k is r. Nu volgen de verschillende vermenigvuldigingen in de achtste dimensie:

Nu de achtste dimensie ontdekt is én de mogelijkheden ervan, gloorde aan de horizon de 16ste dimensie (16 = 24). Maar helaas, acht dimensies is de grens, dan kun je nog optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Dat is bij de 16de dimensie niet meer mogelijk. Als we de eis dat de deling mogelijk moet zijn, laten vallen, vervalt deze grens en komen er nieuwe mogelijkheden bij. De wiskundige William K. Clifford heeft deze nieuwe algebra ontdekt: de Clifford-algebra. Deze algebra gaat uit van een getal mét één reëel deel én een aantal imaginaire delen. Dus niet vast op 1, 2, 4, 8 dimensies! Deze Clifford-algebra is essentieel voor de natuurkunde en in het bijzonder in het kwantummechanica.

Conclusie: Waren imaginaire getallen eerst iets in de verbeelding van wiskundigen, naar mate de tijd verstreek kwamen er meer toepassingen en mogelijkheden. We kunnen niet meer zonder deze imaginaire getallen. Je kunt je de vraag stellen of je nog wel kunt zeggen dat deze getallen imaginair (denkbeeldig) zijn?