Kegelsneden

TERUGHome.html
Kegelsneden

Kegelsneden

Wat zijn kegelsneden eigenlijk? Je moet je dan eerst een kegel voorstellen. Als dat je niet lukt, bekijk dan het onderstaande plaatje (afbeelding 1) van een kegel. Het grondvlak (G) van een kegel is een cirkel; de oppervlakte van een cirkel is 2πr². Vervolgens heeft de kegel dan een hoogte h. De inhoud van een kegel is dan: (2πr² · h) / 3 óf (G · h) / 3.

afbeelding 1: een kegel

Om kegelsneden te krijgen, moet je als het ware de kegel doorsnijden. Als je de kegel precies door het grondvlak doorsnijdt, krijg je een cirkel. Als je de kegel nu schuin door zou snijden, dan heb je een elips. Snij je nog schuiner, dan krijg je een parabool. Zou je nog schuiner snijden, dan krijg je een hyperbool. Dat zijn de vier kegelsneden die er zijn. Hieronder zie ze alle vier in één afbeelding (afbeelding 2).

afbeelding 2: de vier kegelsneden

Cirkel

Een cirkel is de plaats van alle punten P(x,y), die tot een vast punt M(xm,ym) een constante afstand r hebben. Ligt het vaste punt M (het middelpunt) op de oorsprong, dan geldt voor de coördinaten van een punt op de cirkel: P(xp,yp) -> xp = r · cos φ én yp = r · sin φ. De vergelijking van een cirkel met het middelpunt op de oorsprong ( O(0,0) ) en de straal r is: x2 + y2 = r2. Je kunt het ook duidelijk zien op de onderstaande afbeelding (afbeelding 3).

afbeelding 3: cirkel met middelpunt op de oorsprong ; afbeelding 4: cirkel met middelpunt M

Als het middelpunt van de cirkel niet op de oorsprong ligt (afbeelding 4), maar op een willekeurig punt M(xm,ym), dan is de algemene cirkelvergelijking: (x - xm)2 + (y - ym)2 = r2. De punten P(xp,yp) van een cirkel met straal r en middelpunt M(xm,ym) bereken je op de volgende manier: xp = xm + r · cos φ én yp = ym + r · sin φ. De algemene cirkelvergelijking met de poolstraal r en middelpunt M(xm,ym) is: rp2 + rm2 - 2 · rp · cos(φ - φm) = r2. Zie daarvoor ook afbeelding 5. Voorbeeld: middelpunt M(5, 40°) en straal r = 3, dan krijg je: rp2 + 25 - 10 · cos(φ - 40°) = 9.

afbeelding 5: cirkel met willekeurig middelpunt M, met poolcoördinaten

Cirkel én een rechte lijn



Snijpunten van een cirkel en een rechte lijn, moeten zowel in de cirkelvergelijking als de vergelijking van de lijn passen. Het punt B is een snijpunt van een cirkel en een lijn: je hebt dan de coördinaten xB en yB. De cirkelvergelijking is dan: (xB - xm)2 + (yB - ym)2 = r2 en de vergelijking van de lijn: yB = m · xB + t. De snijpunten kun je dan berekenen door yB (van de lijn-vergelijking) in te vullen in de vergelijking van de cirkel. Het resultaat is een tweedegraadsvergelijking. Als de discriminant D (= b2 - 4ac) dan groter als nul is (D > 0), dan zijn er twee snijpunten. De lijn door de cirkel heet de snijlijn. Is D gelijk aan nul, dan is er één raakpunt. De lijn door het raakpunt is de loodlijn op de straal. Als D < 0, dan is er géén raaklijn of snijpunt. De lijn gaat er gewoon langs.

Als het middelpunt van de cirkel op de oorsprong ligt én er één raakpunt P(xP, xP) is (D = 0), dan heeft de raaklijn: de volgende vergelijking: xB · x + yB · y - r2 = 0. Als het middelpunt van de cirkel M(xM, xM) is én de raaklijn de cirkel raakt op P(xP, xP), dan heeft de raaklijn de volgende vergelijking: (xB - xM) · (x - xM) + (yB - yM) · (y - yM) - r2 = 0.

Elips


Een elips is de plaats van alle punten, waarbij de som van de afstanden tot twee punten F1 en F2 constant is. F1 en F2 zijn de brandpunten. Voor alle punten van de elips is de verhouding van de afstanden tot een vast punt (het brandpunt) en een vaste rechte (de richtlijn of directrix) constant én wel ε (ε<1). De lange as wordt door het brandpunt en bijbehorende richtlijn harmonisch verdeeld. Deze afstand is logischerwijs volgens de afbeelding (7) F2 tot P én P tot F1, maar ook de grootste as van de elips: A1A2. De vergelijking van een elips, waarvan het elipsenmiddelpunt (het midden van de twee brandpunten) op de oorsprong ligt, is: x2/a2 + y2/b2 - 1 = 0 of b2 · x2 + a2 · y2 - a2b2 = 0. (x = xM + a · cos φ; y = yM + b · cos φ) Als het middelpunt niet op de oorsprong ligt, maar een willekeurig punt M(xM,yM) is, dan heeft de elips de volgende vergelijking: (x - xM)2 / a2 + (y - yM)2 / b2 - 1 = 0. (x = xM + a · cos φ; y = yM + b · cos φ) De twee bovenstaande vergelijkingen kun je ook met poolcoördinaten schrijven. Je kunt de bovenstaande twee vergelijkingen schrijven als één vergelijking (zie ook afbeelding 7) met poolcoördinaten: b2 / (1 - ε2 · cos2 φ) = r2. (x = ON · cos φ óf x = a · cos φ, y = OR · sin φ óf x = b · sin φ)

afbeelding 7: elips met het middelpunt op de oorsprong

Hyperbool


Een hyperbool is de plaats van alle punten van de rechte, waarvoor het verschil van de afstand van twee vaste punten F1 en F2 (de brandpunten) constant is. Voor alle punten van de hyperbool is de verhouding van de afstanden tot een vast punt (het brandpunt) en een vaste rechte (de richtlijn of directrix) constant en wél ε (met ε>1). Net als een elips is punt A1 te punt-spiegelen in het middelpunt van de hyperbool. (zie figuur 8)

figuur 8: een hyperbool

De vergelijking van een hyperbool met het middelpunt op de oorsprong is:

of met poolcoördinaten:

De asymptoten van een hyperbool zijn:

Voor de vergelijkingen van de asymptoten geldt:

De vergelijking van een hyperbool met het middelpunt M(xM,yM), dat niet op de oorsprong ligt,

is:

,

de asymptoten zijn dan:

.

Parabool


Een parabool is de plaats van alle punten van de rechte, die van een vast punt F (het brandpunt) en een richtlijn (of directrix) een gelijke afstand hebben. De numerieke excentriciteit van een parabool is: ε=1.

figuur 9: een parabool

Hieronder staan de vergelijkingen van richtlijnen van verschillende parabolen:

figuur 10: verschillende parabolen met hun richtlijn

Niet alle parabolen hebben het buigpunt op de oorsprong. Hier volgt de vergelijking van een parabool met het buigpunt niet op de oorsprong én de richtlijn evenwijdig aan de x-as: (y - ys)2 ± 2·p·(x - xs) = 0. Als de richtlijn evenwijdig met de y-as ligt krijg je deze vergelijking: (x - xs)2 ± 2·p·(y - ys) = 0. Je kunt beide vergelijkingen ook anders (gemakkelijker) schrijven: resp. (I) x = a · (y - ys)2 + xs en (II) y = a · (x - xs)2 + ys voor de laatste twee vergelijkingen geldt, dat a = ± 1/(2p). Als a > 0 is, dan is de parabool naar boven of naar recht geopend; als a < 0, dan is de parabool naar onder of naar links geopend; is a = 1, dan is de parabool de standaardparabool.

Algemene kegelsnede-vergelijkingen


Nu volgt ter afsluiting een soort van samenvatting, die alles net eventjes wat duidelijker zal maken. Voor kegelsneden met assen, die evenwijdig zijn aan de coördinatenassen zijn, zijn er volgende algemene kegelsnede-vergelijkingen in een rechthoekig coördinatenstelsel geldig:


I    cirkel    A·x2 + A·y2 + C·x + D·y + F = 0

 

II    elips    A·x2 + B·y2 + C·x + D·y + F = 0

(A én B zijn steeds beide positief óf negatief)


III    hyperbool A·x2 - B·y2 + C·x + D·y + F = 0

(A én B zijn steeds beide positief óf negatief)


IV    parabool    A·x2 + C·x + D·y + F = 0

(richtlijn evenwijdig met y-as)


V    parabool    B·y2 + C·x + D·y + F = 0

(richtlijn evenwijdig met x-as)


Als F gelijk aan nul is, dan verlopen de bovenstaande kegelsneden door de oorsprong. Het "gemeenschappelijke" buigpunt/top van de kegelsnedes is dan: y2 = 2 · p · x - (1-ε2) · x2. Door de juiste numerieke excentriciteit ε in te vullen, krijg je de gewenste vergelijking:


SNEDE    ε

cirkel    ε=0

elips    0<ε<1

parabool    ε=1

hyperbool    ε>1