Kleinste Gemene Veelvoud

TERUGHome.html
Kleinste Gemene Veelvoud

Kleinste Gemene Veelvoud

Het Kleinste Gemene Veelvoud (Verder kgv) is het kleinste positieve gehele getal dat een veelvoud is van beide getallen. Dus het kleinste positieve gehele getal waarvan beide getallen deler zijn, zonder dat er een rest achter blijft. Je schrijft kgv(a,b) voor het kgv van a én b, en ggd(a,b) voor de grootste gemene deler van a én b, die tegenover het kgv staat.

Het kgv is de deler van het produkt van beide gehele getallen. Zijn de beide getallen verschillende priemgetallen of zijn ze relatief priem, dan is het kgv het produkt van beide getallen. Zijn de gehele getallen relatief priem, dan is het kgv kleiner dan hun produkt.

Voorbeelden:


  1. •Het kgv van 3 én 5 is 15, want 3 en 5 zijn beide priemgetallen en dat is het kgv het produkt van die twee (priem-)getallen;


  1. •Het kgv van 6 van 35 is 210 (= 6 ∙ 35), want 6 én 35 zijn relatief priem (ze delen géén enkele factor: 6 = 2 ∙ 3 én 35 = 5 ∙ 7). Als twee getallen relatief priem zijn, is het kgv het produkt die twee getallen;


  1. •Het kgv van 15 én 27 is daarentegen niet het produkt van 15 én 27 (= 405), maar 135 want 15 én 27 zijn niet priem óf relatief priem. Door beide getallen 15 én 27 in factoren (lees: priemfactoren) te ontbinden, zie je ook het waarom:


15 = 3 ∙ 5 én 27 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33

De voorkomende priemfactoren zijn 3 én 5; de grootste gemene deler (ggd) is dan dus 3. De hoogst voorkomende macht van 3 is 3 (33) én dan 5 is dat 1 (51), dus is het kgv dan gelijk aan 33 ∙ 51 = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 = 135. Er is trouwens ook een formule voor:

in woorden is dat: voor elk paar gehele getallen geldt dat het kgv bepaald kan worden door de absolute waarde van het produkt te delen door de ggd van die beide getallen. Zo werkt het in ons voorbeeld:

Toepassingen:


  1. •Om twee breuken op te kunnen tellen óf af te trekken, moeten de noemers overeen komen. Je kunt dan de verschillende noemers vermenigvuldigen, maar het kgv voldoet ook;

  2. •als je twee tandwielen hebt met m én n tanden, dan komen dezelfde tanden elkaar tegen na het draaien over kgv(m,n) (lees: het kgv van m én n) draaiingen;

  3. •kalender: om de vier jaar is er een schrikkeljaar en er zijn 7 dagen per week. Na het kgv van 4 én 7 jaren ( kgv(4,7) = 28 ) komt de kalender weer terug in zijn ritme. Het is dus mogelijk om een 28-jarige kalender te maken en die alsmaar te gebruiken;

  4. •klok: één wijzer draait rond in 60 minuten én de andere in 1 minuut, dus de wijzers komen elkaar tegen in het kgv van 1 én 60 (= 60 min) weer in dezelfde stand.