Van Newton tot Einstein

TERUGnewton_einstein.html
Van Newton tot Einstein

Van Newton tot Einstein

De Maxwell-vergelijkingen

De Maxwell-vergelijkingen

Elektrodynamica (De Maxwell-vergelijkingen)


Samen met de wetten van Isaac Newton vormen de wetten van James Clerk Maxwell het fundament van de klassieke mechanica. Newton´s wetten beschrijven de beweging van deeltjes als er een kracht op werkt, terwijl de wetten van Maxwell de elektromagnetische krachten beschrijven. Deze wetten van Maxwell beschrijven de elektrische en magnetische velden (E én B), die veroorzaakt wordt door lading (of in het algemeen door de ladingsdichtheid ρ en elektrische stroomdichtheid j). Als we de velden met de wetten van Maxwell bepaald hebben, dan kunnen we daaruit weer de Lorentzkracht bepalen die op een lading wordt uitgeoefend.

De wetten van Maxwell beschrijven volledig de elektromagnetische verschijnselen; zoals radiogolven, zichtbaar licht of röntgenstralen. Ladingen zenden deze straling alleen uit als ze versneld worden. Deze wetten zien er best ingewikkeld uit, maar we zullen ze stuk voor stuk onder de loop nemen.

Elektrische en magnetische velden zijn veldvectoren; dus elektrische en magnetische velden hangen af van positie (ruimte) en tijd. Beide veldvectoren hebben weer drie richtingen (X, Y en Z). Daarom zijn de twee vergelijkingen (de tweede en de vierde)  met een afgeleide naar tijd (met een t in de formule!) dan ook bewegingsvergelijkingen.

De eerste wet van Maxwell: de wet van Gauss

De eerste wet van Maxwell (De wet van Gauss)


Deze wet is de wet die het elektrische veld beschrijft wat ontstaat door een ladingsverdeling ρ. Deze wet heet ook wel de wet van Gauss. De lading veroorzaakt dus een veld en in deze wet een elektrisch veld E. De lading is de ladingsdichtheid ρ. De ladingsdichtheid ρ is dus de bron, de veroorzaker van dat veld. De veroorzaker van de elektrische veldlijnen van dat elektrische veld.

De tweede wet van Maxwell: de wet van Ampère

De tweede wet van Maxwell (De wet van Ampère)


Deze wet beschrijft het verband tussen elektrische en magnetische velden. Het is zo dat elektrische stromen j (bewegende ladingen!) magnetische velden opwekken. In deze wet zie je de rotatie van een magnetisch veld; of ingewikkeld: de uitwendige vectorafgeleide. Elk elektrisch en magnetisch veld heeft zoals eerder gezegd twee veldvectoren (ruimte en tijd) en weer drie componenten per veldvector. In deze wet staan de afgeleiden van deze drie componenten; aangeduid met de Griekse letter nabla. De afgeleiden worden losgelaten op de componenten van de vector van het magnetische veld B. De bron van dit magnetische veld is de elektrische stroom j.


Als je door een stroomdraad een elektrische stroom laat lopen, ontstaat er dus een magnetische veld rondom die stroomdraad. Dit magnetisch veld is mooi rond om die draad. Dat opgewekte magnetische veld kun je ´meten´ door er een kompas bij te houden. Je zult zien dat de kompasnaald zal bewegen.

De derde wet van Maxwell

De derde wet van Maxwell


Deze wet heeft geen extra naam, maar is daarom niet minder interessant. Deze wet lijkt op de eerste wet, alleen is E vervangen door B én staat er achter het is-teken geen ρ maar een nul (0). Het gaat in deze wet dus om een magnetisch veld B, maar waarom staat er een nul? Er zijn namelijk geen magnetische ladingen. Als je een staafmagneet door zou zagen, dan krijg je géén aparte noord- en zuidpool. Ook al blijf je eindeloos doorzagen. Een magnetisch veld heeft dus altijd een noord- of zuidpool. Het enige wat deze wet dus zegt is dat: er géén losse magnetische polen bestaan. Maxwell heeft een soort symmetrie aangetoond tussen elektrische en magnetische eigenschappen. Ladingen en stromen komen alleen voor in elektrische velden en in magnetische velden komen alleen in stromen voor.

De vierde wet van Maxwell: de wet van Faraday

De vierde en laatste wet van Maxwell (De wet van Faraday)


Deze wet zegt dat een verandering van een magnetisch veld B een elektrische veld E opwekt. Dat elektrische veld zou eventueel ladingen in beweging kunnen brengen. Deze ladingen wekken op hun beurt weer compenserende magnetische velden op, die de verandering van de bron (het eerste magnetische veld) tegengaan.

Over de wetten van Maxwell


De eerste en derde wet hebben ieder één component, terwijl de andere twee ieder drie componenten hebben; dus acht (8) vergelijkingen. Er zijn echter maar zes (2 x 3) componenten, dus dit is een overbepaald systeem. Een overbepaald systeem is instabiel: er zijn teveel voorwaarden voor een oplossing. Dit is op te lossen door naar de tweede- en vierde wet te kijken en goed het verloop van de tijd van de velden in de gaten te houden. Je gebruikt dan de eerste en de derde wet om slechts om de verschillende veldcomponenten van het elektrische en magnetische veld te vergelijken op elk gewenst tijdstip. Zo heb je weer een stabiel systeem. Deze wetten vormen dus een systeem met een gebruiksaanwijzing.

De beweging van geladen deeltjes is een bepaald elektromagnetisch veld zonder (!) andere werkende krachten kunnen vastgelegd worden door de krachtwet van Lorentz en de bewegingswetten van Newton. Als er echter sprake is van externe ladingen of stromen dan moet je de wetten van Maxwell gebruiken. De wetten van Newton en Maxwell samen vormen dan dus een gesloten stelsel voor de beweging van de deeltjes en de opgewekte velden. Dat gesloten stelsel geeft dan de verklaring voor alle elektrische en magnetische verschijnselen. Je kunt dan denken aan: elektromotoren, dynamo´s, antennes, de krachten in plasma of andere vormen van deeltjes.

Een elektromagnestisch veld bevat een bepaalde hoeveelheid energie. Deze energie kun je berekenen door alle energie van alle deeltjes op te tellen in een bepaald veld. Een andere naam voor ´alle energie van alle deeltjes´ is de ´energie-dichtheid´. Je kunt de energie-dichtheid berekenen met volgende formule: U = ½ E2 + ½ B2.

Elektromagnetische golven (de golfvergelijkingen)


Als je je radio aanzet, hoor je geluidsgolven. Als je je ogen opent, zie je licht. Radio- en televisie golven zorgen voor uitzendingen op je radio of televisie. Als je in de zee zwemt, voel je watergolven tegen je aan. Golven zijn trillingen die zich voortplanten door een medium (water, lucht of lege ruimte). Golven die zich voortplanten door lege ruimte zijn elektromagnetische golven. Bij deze elektromagnetische golven zijn er schommelingen (oscillaties) van de elektrische en magnetische velden die zich voortplanten in de ruimte. Deze elektromagnetische golven zijn transversaal: de elektrische en magnetische trillingen (oscillaties) staan loodrecht op elkaar. Elektromagnetische golven worden beschreven door de wetten van Maxwell. Zonder elektrische of magnetische velden bestaan deze golven niet.

Alle golven hebben een golflengte λ (Griekse letter labda), een snelheid v en een frequentie f. Deze drie ´losse´ eigenschappen kun je verbinden met de golfvergelijking: λf = v. Stel je hebt een golf met een golflengte van 20 meter en een frequentie van 100 Hz; de snelheid van deze golf zal dan 2000 meter per seconde zijn. Alle elektromagnetische golven hebben een snelheid die gelijk is aan de lichtsnelheid c (ongeveer 300.000 kilometer per seconde). Radiogolven, microgolven (van de magnetron), infrarood (van afstandbedieningen), zichtbaar licht (wat we met de ogen kunnen zien), röntgenstraling (voor het maken van röntgenfoto´s) of gammastraling zijn voorbeelden van elektromagnetische golven. Je kunt dus berekenen hoe lang de golf zal zijn van je favoriete radiozender op 101,7 Mhz!; λ = 29,45 cm.

James Maxwell (1831-1879)

Illustratie van de tweede wet van Maxwell

Relatie tussen elektrische stroom en het opgewekte magnetische veld

Illustratie van Maxwell