Poolcoördinaten

TERUGHome.html
Poolcoördinaten

Poolcoördinaten

Je kunt in de wiskunde een punt op een plat vlak voorstellen als twee waarden van een bepaald punt. Dat bepaalde punt heet dan de oorsprong en heeft de letter O als naam en als coördinaten (0,0), dus O(0,0). Horizontaal trekt je dan door de oorsprong de x-as en verticaal door de oorsprong ligt de y-as. Er is een hoek van 90° tussen de x-as en de y-as. Het hiervoor beschreven coördinatenstelsel waar punten op een plat vlak beschreven worden door een x en een y-waarden heet het Cartesisch coördinatenstelsel. Zo heeft het punt A(2,4) een x-waarde van 2 en een y-waarde van 4. Je gaat dan eerst in het Cartesisch coördinatenstelsel naar de x-waarde 2 en daar vanuit (in dit geval omhoog) naar de y-waarde 4. Of in gewoon Nederlands: 2 naar rechts en dan 4 omhoog. Zo is B(-1,-3), 1 naar links en dan 3 omlaag. Hieronder zie je een voorbeeld van een Cartesisch coördinatenstelsel met de eerder besproken punten A en B. Punten A en B hebben Cartesische coördinaten ( P(x , y) ).

In het Cartesisch coördinatenstelsel kun je echter ook punten tekenen met poolcoördinaten. Deze hebben dan niet het tweetal ( x , y ), maar ( r , θ ). Punten met poolcoördinaten liggen op dezelfde plek als je ze zou tekenen met Cartesische coördinaten. De ´r´ staat voor de poolstraal, de afstand tussen van de oorsprong en het punt. De ´ θ´ staat voor de poolhoek. De poolhoek is de positieve ´gewone´ hoeken tussen het lijnstuk r en de positieve x-as. Gewone hoeken meet je tussen 0 én 2π radialen (0°- 360°). Hieronder zie je een voorbeeld van punten A en B getekent in een Cartesisch coördinatenstelsel met poolcoördinaten.

Het verband tussen de Cartesische coördinaten en de poolcoördinaten is:


x = r · cos (θ) ; y = r · sin (θ).


Het omgekeerde verband is:


r = √ (x2 + y2) ; θ = arctan (y / x) (uitleg: tan θ = y / x).

 

Het Cartesisch coördinatenstelsel is twee-dimensionaal. Het is ook mogelijk punten te tekenen in hogere dimensies. Bijvoorbeeld de derde dimensie. Dan heb je 3 assen x, y én z, die loodrecht op elkaar staan. Maar een dimensie als 4 óf hoger is natuurlijk ook mogelijk. Het is dus mogelijk om punten te tekenen met Cartesische coördinaten of poolcoördinaten in een dimensie van 2 of hoger. In het algemeen kun je zeggen, dat een punt in de n-dimensionale ruimte geschreven wordt als (r, θ1, ... ,θn-1), een voerstraal en n-1 gedefineerde hoeken.

 

Coördinaten in een vectorveld


Het is gebruikelijk een vectorveld F(x,y) = ( Fx(x,y) , Fy(x,y) ) in poolcoördinaten te ontbinden in een component Fr langs de poolstraal en een component Fθ loodrecht daarop in de richting van de hoek θ. Voor deze componenten geldt: Fr = Fx · cos (θ) + Fy· sin (θ) én Fθ = - Fx · sin (θ) + Fy· cos (θ). Omgekeerd geldt dan: Fx = Fr · cos (θ) - Fθ· sin (θ) én Fy = Fr · sin (θ) - Fθ· cos (θ).