Tovervierkanten

TERUGHome.html
Tovervierkanten

Tovervierkanten

Een tovervierkant, of magisch vierkant, is een vierkant waarin een aantal gehele getallen staan die zo gerangschikt zijn (in kolommen en rijen) dat de som in elke rij, kolom en elke diagonaal steeds hetzelfde is. Hieronder zie je twee voorbeelden van zo’n tovervierkant.

Bij beide bovenstaande tovervierkanten is de som van elke kolom, rij en diagonaal steeds 34. Als je goed oplet, is als je een tovervierkant verdeeld in vier vierkanten, zo’n klein vierkantje weer een tovervierkant of beter een tovervierkantje. Verder heeft het tweede tovervierkant (toevallig?) nog een extra eigenschap; namelijk dat je een willekeurig vierkantje eruit kan halen en steeds is dat willekeurige vierkantje een tovervierkant. Hieronder staan twee van deze tovervierkantjes uit het tweede tovervierkant.

Verder zijn de centrale vierkanten uit beide bovenstaande tovervierkanten ook tovervierkanten; de centrale tovervierkanten.


Er is een duidelijk verband tussen de gebruikte getallen in een tovervierkant en de som van een kolom, rij, diagonaal. Dat verband is duidelijk te zien als je een tovervierkant vult met opeenvolgende getallen beginnend met 1. Het grootste getal wat je dan invult is ook gelijk aan het aantal getallen. Verder is het grootste getal ook een (zuiver) kwadraat van de vorm n2 (n is een natuurlijk getal). In dit getal is de som van het totaal aantal gebruikte getallen, ook de som van de rekenkundige reeks waar 1 de eerste term is en n2 de laatste term. Deze som is dan:


½n2(n2 + 1).

Dit totaal van alle gebruikte getallen moet verdeeld worden over n kolommen of over n rijen. Om het totaal van een rij te weten, moet je het totaal van alle gebruikte cijfers delen door het aantal rijen; dat zijn n rijen, dus het totaal van een rij of kolom is:


½n(n2 + 1).

Bij de twee bovenstaande tovervierkanten worden 16 (4 bij 4) getallen gebruikt; de waarde van n2 is dan 16 : n2 = 16. De waarde van n is dan de wortel van 16 en dat is 4 : n = 4. Het totaal van één kolom, rij of diagonaal is dan weer: ½n(n2 + 1) = ½ ∙ 4(42 + 1) = 2 ∙ 17 = 34. Dat klopt als we het natellen.

Constructie van een tovervierkant

Er zijn veel verschillende manieren om een tovervierkant te maken. Ik laat er een paar zien. Hoe je een tovervierkant maakt, hangt op de eerste plaats af van het feit of het aantal gebruikte getallen even of oneven is.

Constructie van een tovervierkant met een even aantal getallen

1) teken eerst een leeg vierkant met de diagonalen erin;

2) zet vervolgens de getallen van 1 t/m 16 erin;

3) tenslotte draai je de getallen op de diagonaal om, of anders gezegd: puntspiegel de getallen op de diagonaal op het midden van het tovervierkant: dus 1 wisselt van plek met 16 en 16 wisselt van plek met 1;

4) bovenstaande vierkant is een tovervierkant geworden!

Constructie van een tovervierkant met een oneven aantal getallen

1) teken een leeg vierkant (zonder diagonalen);

2) schrijf het eerste getal van de in te vullen getallenreeks op het middelste vakje van de eerste (bovenste) rij: dat is hier 1;

3) vervolgens zet je het volgende getal (getal 2) in het vakje wat één stap rechts en één stap boven het laatste vakje ligt: dus het vakje wat rechtsboven het vorige vakje ligt. Als je niet meer hoger kan, moet je helemaal onderaan verder gaan in de kolom rechts van het vakje waar je van uitgaat. Als je aan de andere kant de meest rechtse kolom bereikt hebt, dan ga je in de meest linkse kolom verder;

4) op een gegeven moment kom je een vakje tegen dat al gevuld is met een getal: in dit voorbeeld komen we het getal 1 tegen. Raak dan niet in paniek, maar ga één vakje naar beneden en vul daar het getal in wat je in wilde vullen. Vervolg dan stap 3 weer tot het tovervierkant helemaal vol is. Het resultaat zou er als volgt uit kunnen zien: zie plaatje hier rechtsboven!

Andere manier om een tovervierkant te kunnen tekenen

Een andere manier om een tovervierkant te tekenen is door gebruik te maken van twee voorlopige (tover-)vierkanten. Hieronder staat voorlopig vierkant A en voorlopig vierkant B. In vierkant A worden de cijfers van 1 t/m 5 op een willekeurige manier ingevuld. Vervolgens neem je het vierde getal van de bovenstaande rij en vult dat getal in op de eerste plek van de rij eronder. Elke rij begint dus met het vierde getal van de rij erboven. Elke rij heeft echter wel de volgorde van de eerste rij.

In voorlopig vierkant B worden de getallen 0, 5, 10, 15, 20 ingevuld, weer in de bovenste rij en weer in willekeurige volgorde; zoals je ziet in de afbeelding van vierkant B. Nu neem je het derde getal van de bovenstaande rij en vult dat in op de eerste plek van de rij eronder. Zo ga je door tot het hele vierkant gevuld is.

Nu we twee voorlopige vierkanten hebben, kunnen we het tovervierkant maken. Je legt als het ware de twee voorlopige tovervierkanten A en B op elkaar en telt de getallen van de twee plekken op; dus rechtsboven in A staat een 2 en rechtsboven in B staat een 15, op het tovervierkant komt dus op het vakje wat rechtsboven staat het getal 17 te staan, want 15 + 2 = 17. Zo vult je het hele tovervierkant. Zowel voorlopig vierkant A als B, zijn ook tovervierkanten.

Nog een manier om een tovervierkant te maken

Het is ook mogelijk om een tovervierkant te maken, door eerst een hulpvierkant om het te maken tovervierkant te tekenen zodat de zijden van dat hulpvierkant verdeeld worden in de helft. Zie de afbeelding hieronder!

In het hulpvierkant worden de getallen 1 t/m 49 geplaatst. Door de constructie wordt al een gedeelte van het tovervierkant gevuld zoals je ziet. Alleen de getallen buiten het tovervierkant moeten nog een plekje krijgen binnen het tovervierkant. Deze getallen buiten het tovervierkant schuiven als het ware richting het tovervierkant (horizontaal of verticaal). Ze schuiven net zo lang tot ze het meest verre lege vakje tegenkomen en “vallen” in dat vakje.

Zo schuift het getal 3 horizontaal naar rechts (dus richting het tovervierkant) totdat het het lege vakje rechts van de 27 heeft bereikt. Het getal 3 komt op die plek.


Het getal 14 schuift naar beneden totdat dat getal het plekje tussen de 32 en de 38 bereikt heeft. Het getal 41 schuift naar links totdat dat getal het plekje links van de 17 heeft bereikt. Daarna schuif je pas het getal 49 naar de plek tussen de 17 en de 25. Je neemt dus eerst het getal wat het dichtst bij het tovervierkant ligt.

Tot nu toe hebben we steeds opeenvolgende getallen gebruikt om een tovervierkant te maken. Dat is niet noodzakelijk en ieder stel getallen kan worden gebruikt om een tovervierkant te maken. Er zijn echter wel regels voor: (a) deze getallen moeten worden geschreven in groepjes van drie, waarvan elke groep een rekenkundige reeks is met een verschil van 1, en (b) deze drie reeksen zijn steeds zes hoger dan de eerste. De volgende reeks kan dus worden gebruikt om een tovervierkant te maken: 1 2 3 7 8 9 13 14 15.

Deze reeks kan dus ook worden gebruikt: 3 4 5 9 10 11 15 16 17.


We gaan rekenen met de bovenste reeks: 1 2 3 7 8 9 13 14 15 !


We rangschikken deze reeks als volgt:

Je ziet duidelijk dat elke rij een (rekenkundige) reeks is met een verschil van 1. Elke kolom is weer een reeks met een verschil van 6. We kunnen nu, volgens de regels voor het maken van een tovervierkant met een oneven aantal getallen, het bijbehorende tovervierkant maken:

Deze methode voor het maken van tovervierkanten zonder een opeenvolgende reeks maakt gebruikt van zgn. sleutelvierkanten. We gaan weer een tovervierkant maken met negen getallen, maar nu moeten we eerst twee hulpvierkanten maken. Deze staan hier onder:

Het vierkant met de letters erin is het sleutelvierkant. Het lege vierkant ernaast zal uiteindelijk het tovervierkant worden.

Nu gaan we het tovervierkant maken:


  1. 1.1)we kiezen drie willekeurige getallen (stel we kiezen 5, 9 en 47);

  2. 2.2)we kiezen één getal uit de drie die we hebben bedacht, het maakt niet uit welke (wij kiezen het getal 47);

  3. 3.3)we plaatsen het getal 47 op de plek van B in het lege vierkant;

  4. 4.4)we tellen een ander gekozen getal op bij 47 (we kiezen de 5 en 5 + 47 = 52)

  5. 5.5)we vullen 52 in op de corresponderende plek van G in het te vullen tovervierkant;

  6. 6.6)we tellen nu nog een keer hetzelfde getal op bij de 52 (52 + 5 = 57, 47 + 5 + 5 = 57);

  7. 7.7)we hebben nu drie getallen van de negen ingevuld. De andere zes gaan bijna hetzelfde;

  8. 8.8)tel het overblijvende getal (9) op bij 47 en vul 56 (= 9 + 47) in op de plek van K. Tel er weer 9 bij op en vul dan 65 (= 9 + 56 = 9 + 9 + 56) op de plek van D in;

  9. 9.9)tel het derde getal (9) op bij het getal van G (52) en vul het in op plek E (61). Tel weer het derde getal (9) op bij het getal van E (61) en vul het in op plek C (70). Tel nu het derde getal (9) op bij het getal van plek F (57) en vul het in op plek A (66). Tel het derde getal (9) op bij op het getal van plek A (66) en vul het in op plek H (75).


Het tovervierkant is af!

Bovenstaande plaatje (rechts) laat duidelijk zien waarom dit een tovervierkant is.

Er zijn nog meer methoden om tovervierkanten te maken. Er zijn een hele reeks speciale tovervierkanten. Er bestaat zelfs een toverkubus: de magische hyperkubus. Er zijn tovercirkels en toversterren. Hierover zal ik binnenkort meer toevoegen.