Vectoren

TERUGHome.html
Vectoren

Vectoren

Iets wat je kunt meten, noem je een grootheid. Alles wat je in de natuurkunde kunt meten, is dus een grootheid. Een grootheid heeft een eenheid. Zo is een grootheid bijvoorbeeld: tijd, massa of lengte, bijbehorende eenheden zijn dan seconde (s), kilogram (kg) of meter (m). Er zijn twee soorten grootheden: scalairen en vectoren. Scalairen zijn grootheden die door één getal aangeduid kunnen worden, zoals: tijd, massa of arbeid. Je kunt een massa aanduiden met slechts één getal; bijvoorbeeld iets weegt 10 kg.


Vectoren zijn daarentegen grootheden, die bepaald worden door een getal (lees: waarde) én een richting. Je moet dan denken aan: kracht of afgelegde weg. Als je van een kracht alleen de sterke of alleen de richting weet, weet je nog helemaal niets over de kracht. Alleen samen met de sterkte én de riching kun je de desbetreffende kracht beschrijven.

Vectoren kun je beschrijven in de wiskunde door pijlen. Pijlen hebben altijd een richting en een lengte. Je kunt dus een kracht beschrijven door het voor te stellen als een pijl met een bepaalde lengte en een richting. Je kunt een vector aanduiden met twee verschillende manieren: (i) door kleine vette cursieve letters óf door (ii) het beginpunt en het eindpunt. De hieronderstaande vector kun je dus aanduiden door a óf AB. De vectoren a en b zijn gelijk als ze dezelfde lengte én dezelfde richting hebben. Parallelle verschuiving van een vector a beinvloedt de lengte én de richting niet. Bij iedere vector bestaat dus een oneindige verzameling van gelijke vectoren.

De lengte van een vector is de absolute waarde van die vector en is aangegeven met |a|.  De lengte van een vector is absoluut, dus altijd een positief getal.


Er zijn verschillende soorten vectoren:

de eenheidsvector, een vector met een lengte één (1);

de nulvector, een vector met een lengte van nul (0), bij deze vector vallen het beginpunt en het eindpunt samen. De richting van deze vector is dan ook onbepaald;

gebonden vectoren, vectoren waarbij het beginpunt aan een bepaald punt P gebonden zit;

plaatsvectoren, vectoren waarbij het beginpunt aan de oorsprong ( (0,0) of (0,0,0) ) gebonden is;

vrije vectoren, vectoren die niet aan een punt gebonden zijn en zich dus mogen bewegen, mits de lengte én de richting niet verandert;

collineaire vectoren, vectoren die parallel liggen aan één en dezelfde rechte;

complanaire vectoren, vectoren parallel aan één en hetzelfde vlak. (geen afbeelding beschikbaar)

Vectoren kun je niet alleen verplaatsten of verschuiven, maar ook optellen, aftrekken, vermenigvuldigen met scalairen, vermenigvuldigen elkaar.

OPTELLEN VAN VECTOREN


Als je een vector a optelt bij b, is de vector c het resultaat van die optelling. Dus a + b = c. Deze optelling is anders als bij scalairen; grootheden zonder richting. De somvector c wordt verkregen door het meetkundig op te tellen d.m.v. verschuiving van de ene vector aan de andere vector. Hoe werkt dat? Er zijn twee vectoren a en b, die we willen optellen. Bekijk de onderstaande afbeelding. We schuiven het einde van vector b naar het begin van vector a, vervolgens trekken we een lijn van het einde van vector a naar het begin van vector b. Die lijn, die we getrokken hebben, is dan de som van a en b ofwel de vector c of de somvector c. In de wiskunde is er voor alles wel een rekenregel, zo ook voor het rekenen met vectoren.

Dit zijn de rekenregels voor het optellen van vectoren:


•de commutatieve wet: a + b = b + a;


•de associatieve wet: (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c;


•speciaal geval I: a + 0 = 0 + a = 0;


speciaal geval II: de som van twee vectoren is de nulvector a + b = 0, als a en b door draaiing over 180° in elkaar overgaan: b = -a;

speciaal geval III: de vector -a heeft dezelfde lengte als vector a, alleen de richting is tegengesteld:

HET VERSCHIL VAN VECTOREN


Het verschil van vector a en vector b is de vector ab, ofwel de vector c. Die vector c is eigenlijk ontstaan uit een optelling van a én -b: c = ab = a + (-b). Aftrekken van vectoren is dus het omgekeerde van het optellen van vectoren. Overal in de wiskunde zijn er naast regels ook de uitzonderingen; hier dus ook: speciale gevallen zijn: aa = 0, a0 = a, 0a = -a én 00 = 0.

VERMENIGVULDIGING VAN EEN VECTOR MET EEN SCALAIR


Als je een vector met een scalair (dus gewoon een getal!) vermenigvuldigd, kun je dat ook voorstellen als het herhaald optellen van die vector. Een vector a vermenigvuldigd met een getal n (of de scalair n) geeft de vector na.

Van welke soort de vector na is, hangt af van de waarde van de scalair n:


|na| = |n| · |a|;


  1. 1.•n > 0 , dan is na↑↑a : (gelijk gerichte parallelle vectoren);

  2. 2.•n < 0 , dan is na↑↓a : (tegengesteld gerichte parallelle vectoren);

  3. 3.•n = 0 , dan is na = 0 · a = 0 : (nulvector);

  4. 4.•n = 1 , dan is na = 1a = a;

  5. 5.•n = -1, dan is na = -1a = -a : (de vectoren a en -a verschillen alleen in de richting).


Nu zijn er ook weer rekenregels: de rekenregels voor de vermenigvuldiging van een vector met een scalaire


  1. 1.•de distributie wet t.o.v. de optelling van scalairen: (m + n)a = ma + na;


  1. 1.•de distributie wet t.o.v. de optelling van vectoren: n(a + b) = na + nb;


  1. 1.•de associatieve wet t.o.v. de vermenigvuldiging van scalairen: m(na) = (m · n)a = n(ma);


Je kunt iedere vector beschrijven als een produkt van zijn absolute waarde |a| en de bijbehorende eenheidsvector; je kunt het ook anders zeggen: je kunt iedere vector splitsen in een produkt van de lengte en de richting: a = |a|·a0.

HET SCALAIRE PRODUKT VAN TWEE VECTOREN


Het scalaire produkt van twee vectoren heet ook wel het inwendige produkt. Je kunt het scalaire produkt van de vectoren a en b berekenen door het produkt te bepalen van: de absolute waarde |a| en |b| en de cosinus van de ingesloten hoek tussen de vectoren a en b: a · b = |a|·|b| · COS φ. Meetkundig gezien is het scalaire produkt de lijn tussen allebei de uiteinden van van beide vectoren a en b. Als beide vectoren géén nulvector zijn, dan kun je zeggen als a · b > 0 dat de ingesloten hoek φ spits is, dus ligt φ tussen 0 én 90°. Als daarentegen  a · b < 0, dan ligt φ tussen 90° én 180°.

De rekenregels die gelden voor het scalaire produkt zijn:


  1. 1.•commutatieve wet: a · b = b · a ;


  1. 1.•distributieve wet (t.o.v. de vectoroptelling): a · (b + c) = a · b + a · c ;


  1. 1.•associatieve wet (t.o.v. de vermenigvuldiging met een scalair: (na) · b = n(a · b) = a · (nb) .


Belangrijke opmerkingen:


  1. 1.•er bestaat géén scalair produkt voor meer dan twéé vectoren;

  2. 2.•er bestaat géén scalair produkt als a = 0 of b = 0;

  3. 3.•er bestaat géén scalair produkt voor a0 én b 0 als a b;

  4. 4.a · a = |a| · |a| · cos 0° = |a|2;

  5. 5.•de absolute waarde (de lengte!) van een vector is: |a| = √(a· a) ;

  6. 6.•cos φ = (a· a) / (|a| · |a|) .

HET VECTORIEEL PRODUKT VAN TWEE VECTOREN


Een ander woord voor het vectorieel produkt is het uitwendig produkt. Het vectorieel produkt van de twee vectoren a en b is de vector c: c = a x b. Er gelden door dit vectorieel produkt de volgende voorwaarden:

  1. 1.1.    c staat loodrecht op de door a en b bepaalde vlak, dus ca én cb ;

  2. 2.2.de volgorde a, b, c een positieve omloop heeft (tegen de wijzer van de klok) ;

  3. 3.3.|c| = |a  b| = |a| · |b| · SIN φ is, φ is de ingesloten hoek tussen a en b en φ ligt tussen 0° én 180° .

Meetkundig moet je het vectorieel produkt zien als (de absolute waarde van) de oppervlakte van het parallellogram met de vectoren a en b als zijden: h = |b| · SIN φ én Opp = |a| · h. Bijzondere gevallen zijn: a x a = 0, a x b = |a| · |b| (als φ = 90°, dus  a b) én a x b = -|a| · |b| (als φ = 270°).


Het vectorieel produkt is:

  1. 1.niet commutatief, maar: a x b = -(b x a); (a x b)↑↓(b x a) ;


  1. 1.wel associatief (ten opzichte van vermenigvuldiging met een scalair) : n(a x b) = (na) x b = a x (nb) ;


  1. 1.•wel distributief (ten opzichte van vectoroptelling) : a x (b x c) = a x b + a x c .


Speciale gevallen:

het vectorieel of uitwendig produkt verdwijnt als a = 0 óf als b = 0 EN als a0 én b0 (voorwaarde a||b).