Wiskunde regels

TERUGHome.html
Wiskunde regels

Wiskunde regels

1. De zeven soorten operaties

2. Tekenregels

a. OPTELLING en AFTREKKING

b. VERMENIGVULDIGING EN DELING

3. Rekenregels bij breuken

4.Overzicht over de opbouw van het getallensysteem

5. Indentiteiten

6. Evenredigheden

x : y = a : b is equivalent met bx = ay. Dit heet in de volksmond ook wel kruislingsvermenigvuldigen.


Bij corresponderende optelling of aftrekking is:

(x ± y):x = (a ± b):a

(x ± y):y = (a ± b):b

(x + y) : (x - y) = (a + b) : (a - b)


Middelevenredige: a : x = x : b óf x2 = ab


Voortlopende of gedurige evenredigheid: x : y : z : ... = a : b : c : ... , daaruit volgt dan: x : y = a : b óf x : z = a : c óf y : z = b : c.

7. Gemiddelden

Van n positieve grootheden (een grootheid is iets dat je kunt meten, zoals snelheid of tijd): a1, a2, a3, ... an geldt voor a1 en a2:

Rekenkundig gemiddelde > Meetkundig gemiddelde > Harmonisch gemiddelde

(voor a1 ≠ a2 óf a1 ≠ a2 ≠ a3 ≠ ... ≠ an)


Rekenkundig gemiddelde = Meetkundig gemiddelde = Harmonisch gemiddelde

(voor a1 = a2 óf a1 = a2 = a3 = ... = an)

8. Machten

Een macht is een uitdrukking van de vorm an. Dus an = a • a • a • ... • a (n-factoren), d.w.z. de exponent n geeft aan hoe vaak de basis (grondgetal) a als factor voorkomt.


am • an = am+n

(-a)2n = + a2n

am : an = am-n (a ≠ 0)

(-a)2n+1 = - a2n+1

(a • b)n = an • bn

a-n = 1 / an of an = 1 / a-n

(a : b)n = an : bn (a ≠ 0)

am-n = 1 / an-m

(am)n = (an)m = amn

a0 = 1 (a ≠ 0)

9. Wortels

n√ a wordt als volgt gedefinieerd: onder de nde wortel uit het getal a verstaat men het getal, waarvan de nde macht de waarde a heeft; a heet grondgetal, n is de wortelexponent.


Is n een natuurlijk getal en a (resp. b) > 0, dan geldt:

Iedere wortel is als een macht te schrijven:
 

10. Logaritmen

De logaritme is een exponent. Je stelt je dan de volgende vraag: bx = y; b en y zijn bekend en x is de onbekende (2x = 8, wat is x ?). Je schrijft dan bLOG y = x als oplossing van de (exponentiële) vergelijking bx = y. (Bijv.: 10x = 1000 ; x = 10LOG 1000 ; x = 3). x heet de logaritme, y is de numerus, b is de basis.


a. Gewone of Briggse logaritme:


Als je de basis gelijkstelt aan 10; dus b = 10), dan krijg je de volgende logaritme: 10LOG y. Je kunt 10LOG y echter ook schrijven als LOG y; dus als je een 10 als basis hebt kunt je die weglaten en iedereen weet dan dat er eigenlijk een 10 hoort te staan.


De gewone logaritme van een getal:

tussen 1 en 10 ligt tussen 0 en 1;

tussen 10 en 100 ligt tussen 1 en 2;

tussen 100 en 1000 ligt tussen 2 en 3;

tussen 10n en 10n+1 ligt tussen n en n + 1.


b. De natuurlijke logaritme:


De natuurlijke logaritme (ook wel "logarithmus naturalis") van y heeft als grondgetal (basis) e = 2,71828...; je schrijft dan eLOG y = LN y. e is een transcedent getal.


c. Grondformules:


De logaritme met een basis 2 van een getal:

tussen 1 en 2 ligt tussen 0 en 1;

tussen 2 en 4 ligt tussen 1 en 2;

tussen 4 en 8 ligt tussen 2 en 3;

tussen 2n en 2n+1 ligt tussen n en n + 1.


De logaritme met een basis van m van een getal:

tussen m0 en m1 ligt tussen 0 en 1;

tussen m1 en m2 ligt tussen 1 en 2;

tussen m2 en m3 ligt tussen 2 en 3;

tussen mn en mn+1 ligt tussen n en n + 1.

d. De omrekening van logaritmen met verschillend grondgetal:

11. Imaginaire en complexe getallen

Een getal, waarvan het kwadraat een negatief getal is, heeft imaginair.


a. de eenheid van de imaginaire getallen is
.


Schrijft men volgens deze definitie i2 = -1, dan is i3 = -i, i4 = 1, i5 = i, i6 = -1, enz ...


Algemeen geldt: i4n+k = ik (n = 0, 1, 2, 3, ...; k = 1, 2, 3, ...)

 

De som of het verschil van een twee imaginaire getallen is weer imaginair:


ai ± bi = (a ± b)i


Het produkt van een aantal imaginaire getallen is:


A. bij een even aantal imaginaire factoren een reëel getal;

B. bij een oneven aantal imaginaire factoren een imaginair getal.


ai • bi • ci • di • ei = abcdei5 = abcdei

ai • bi • ci • di = abcdi4 = abcd

ai • bi • ci = abci3 = -abci

ai • bi = ab2 = -abc


Het quotiënt van twee imaginaire getallen is een reëel getal:


ai : bi = a : b


Het macht van een imaginair getal is een imaginair of een reëel getal:


(ai)n is :


* bij een even exponent een reëel getal (n = 2k);

* bij een oneven exponent een imaginair getal (n = 2k + 1).


(ai)5 = a • i • a • i • a • i • a • i • a • i = a5 • i5 = a5i;

(ai)4 = a • i • a • i • a • i • a • i = a4 • i4 = a4;

(ai)3 = a • i • a • i • a • i = a3 • i3 = -a3i;

(ai)2 = a • i • a • i = a2 • i2 = -a2;


De wortel uit een imaginair getal is een complex getal:



b. Complexe getallen


Een complex getal (z = x + yi) bestaat uit een reëel deel x en een imaginair deel yi, waarbij x en y reële getallen zijn (voorstelling in het getallenvlak van Gauss). Bijvoorbeeld: z = 3 + 2i, 3 is reëel en 2i is imaginair. Som, verschil, produkt en quotiënt van twee complexe getallen zijn in het algemeen weer complexe getallen.


Is z1 = x1 + y1 • i én z2 = x2 + y2 • i dan geldt:

Machtsverheffing van een complex getal kan een complex getal, een reëel getal, of een imaginair getal opleveren. De vierkantswortel uit een complex getal is weer een complex getal:

Twee getallen van de vorm x + yi en x - yi heten toegevoegd complex:

de som van twee toegevoegd complexe getallen is reëel: (x + yi) + (x - yi) = 2x;

het verschil van twee toegevoegd complexe getallen is imaginair: (x + yi) - (x - yi) = 2yi;

het produkt van twee toegevoegd complexe getallen is reëel: (x + yi)(x - yi) = x2 + y2;

het quotiënt van twee toegevoegd complexe getallen is een complex getal:

c. Het getallenvlak van Gauss


In de onderstaande afbeelding zie je de voorstelling van een complex getal door middel van poolcoördinaten in het getallenvlak van Gauss.

Voor x én y kun je dan schrijven:

x = r • COS φ

y = r • SIN φ


dan is: z = x + yi = r • (COS φ + i • SIN φ). r = │z│ = │x + yi│ = √(x2 + y2) heet de absolute waarde of de modulus van het complexe getal; φ = ARG z is het argument van het complexe getal. Van de drie vergelijkingen x = r • COS φ, y = r • SIN φ en TAN φ = y/x bepalen telkens de hoek tot op een veelvoud van 2π.



d. De stelling van Demoivre


Voor ieder (ook gebroken !) getal n (n is niet 0) is:

In het bijzonder geldt, als n een geheel getal is:

e. Eenheidswortels


Als je in de laatste formule φ = 0° en φ = 180° invult, krijg je de volgende resultaten:

Algemeen:

De nde-eenheidswortels zijn voor te stellen door hoekpunten van regelmatige veelhoeken, beschreven in de eenheidscirkel.



f. Vergelijkingen met complexe getallen

g. Voorstelling van een complex getal in de "exponentiaalvorm":

h. Natuurlijke logaritme van een complex getal:

12. Regels m.b.t. differentiatie

a. algemene differentiatieregels


Functie                                                        Afgeleide

y = f(x) = k                       y´ = f´(x)= 0

y = f(x) = xp                                       y´ = f´(x)= p • xp - 1

y = f(x) = ex                                    y´ = f´(x)= ex

y = f(x) = ax                                    y´ = f´(x)= ax • LN a

y = f(x) = LN x                y´ = f´(x)= 1 / x

y = f(x) = aLOG x            y´ = f´(x)= 1 / x • aLOG e = 1 / (x • LN a)

y = f(x) = SIN x                y´ = f´(x)= COS x

y = f(x) = COS x                y´ = f´(x)= -SIN x

y = f(x) = TAN x                y´ = f´(x)= 1 / (COS2x)

y = f(x) = COT x                y´ = f´(x)= - 1 / (SIN2x)



b. Afleidingsregels


[f(x) = 2x + 1; g(x) = -4x + 3; k = 4]


de afgeleide van de som van f(x) én g(x) is: (f + g)´ = f´ + g´

de afgeleide van het verschil van f(x) én g(x) is: (f - g)´ = f´ - g´


voorbeeld: (f + g)´ = (2x + 1 + -4x + 3)´ = (-2x + 4)´ = -2 én f´ + g´ = 2 + -4 = -2.


de afgeleide van het produkt van f én g is: (f • g)´ = f´ • g + f • g´


voorbeeld: (f • g)´ = ((2x + 1) • (-4x + 3))´ = (-8x2 + 2x + 3)´ = -16x + 2 én f´ • g + f • g´ = 2 • (-4x + 3) + (2x + 1) • -4 = -8x + 6 + -8x - 4 = -16x + 2.


de afgeleide van het quotiënt van f én g is: (f : g)´ = (f´ • g - f • g´) : g2


voorbeeld: (f : g)´ = ((2x + 1) : (-4x + 3))´ = (2 • (-4x + 3) - (2x + 1) • -4) : (-4x + 3)2 = (-8x + 6 + 8x + 4) : (16x2 - 24x + 9) = (10) : (16x2 - 24x + 9)


de afgeleide van de functie f met factor k: (k • f)´ = k • f´


voorbeeld: (4 • (2x + 1))´ = (8x + 4)´ = 8 én 4 • (2x + 1)´ = 4 • 2 = 8


de kettingregel: h(x) = f(g(x)) => h´(x) = f´(g(x)) • g´(x)


voorbeeld: h´(x) = f´(-4x + 3) • -4 = -4 • -4 = 16

BIJLAGE