Wortels

TERUGHome.html
Wortels uitrekenen op papier

Wortels uitrekenen op papier

Om wortels te trekken kun je een rekenmachine gebruiken; dat is snel en handig. Sommige wortels  kun je ook uit je hoofd uitrekenen. Andere wortels kun je bijvoorbeeld herleiden tot andere wortels. Zo is de wortel van 32 (√32) te schrijven als: 4√2. Daarvoor gebruik je de volgende regels, in nu in het bijzonder de eerste en de vierde. Eerst schrijven we √(32) als √(2 ∙ 16),

We kijken eerst naar een aantal wortels:

Wortel-trekken is een interessante wiskunde bewerking; het is één van de zeven hoofdbewerkingen in de wiskunde; de anderen zijn: optelling, aftrekking, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en logaritme-neming.

De algemene wortel-trekking is: √a = c; er staat: „de wortel uit a is gelijk aan c“. De a staat voor het getal waar de wortel van getrokken moet worden en de c staat voor het resultaat van die wortel. Je kunt ook zeggen: √a = c, want a = c2. Of mooier: √a = c <=> a = c2. Met cijfers ziet het er zo uit: √4 = 2, want 22 = 4, of √4 = 2 <=> 22 = 4. Zo weet je bijvoorbeeld, dat de √9 (de wortel uit 9) 3 is, want 32 = 9. En √25 = 5, want 52 = 25. Het kan dus handig zijn om wat kwadraten uit je hoofd te leren: 12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36, 72 = 49, 82 = 64, 92 = 81, 102 = 100, 112 = 121, 122 = 144, 132 = 169, 142 = 196, 152 = 225, 162 = 256, 172 = 289, 182 = 324, 192 = 361, 202 = 400.

vervolgens schrijven we √(2 ∙ 16) als √2 ∙ √16; en dat is weer √2 ∙ 4. Dat is 4√2. We hebben √32 herleid tot 4√2. Daarom is het handig om bepaalde wortels te weten uit je hoofd, zodat je √32 (4√2) kunt uitrekenen (5,6 = 4 ∙ 1,4). Hier is een kleine lijstje: √2 = 1,4; √3 = 1,7; √5 = 2,2; √6 = 2,4; √7 = 2,6; √8 = 2,8; √10 = 3,1; √11 = 3,3; √12 = 3,5; √13 = 3,6; √14 = 3,7; √15 = 3,9; √17 = 4,1; √18 = 4,2; √19 = 4,4; √20 = 4,5.

Alle wortels (van positieve getallen) kun je uitrekenen met een rekenmachine. Je kunt gewoon √32 uitrekenen met een rekenmachine en dan krijg je zelfs meer decimalen

achter de komma: √32 = 5,65685424949238... . Of de wortel van 37, die niet te herleiden is tot een ander wortel.

Echter is het ook mogelijk om elke wortel uit te rekenen zónder een rekenmachine, maar alleen met pen en papier. Laten we beginnen!

√16 kun je zien grafisch zien als een vierkant (hier links) met een oppervlakte van 16 en sinds een vierkant gelijke zijden heeft moeten de zijden gelijk aan 4 zijn. De wortel van 16 is (zoals we weten) 4. De zijde in het kwadraat is de oppervlakte en de wortel van de oppervlakte is de zijde. Zie ook de voorbeelden van andere wortels hieronder.

Maar hoe berekenen je, bijvoorbeeld, √128 ?

We gaan dus kijken hoe we met pen en papier de wortel van 128 kunnen uitrekenen. Je ziet hier links een vierkant met een oppervlakte van 128. Daaruit volgt dan, dat een zijde (hier x) de wortel van 128 is. We gaan dus de lengte van zo´n zijde uitrekenen, eigenlijk beter gezegd benaderen. Om te beginnen bepaal je eerst het aantal decimalen achter de komma voor het resulaat; hoe

meer decimalen achter de komma je kiest hoe langer je bezig bent; en hoe meer papier je nodig hebt. Ten eerste begin je met een eerste benadering van de te bepalen wortel en die kies je zelf: ik koos 2, dus √128 = 2.

Hierboven zie je een rechthoek met een oppervlakte van 128, die we langzaam gaan omvormen naar vierkant met een oppervlakte van 128. De eerste benadering was 2, dus een zijde van de rechthoek. De oppervlakte is nog steeds 128, dus zijde x is dan 128 : 2. Is dat niet 64? We werken toe naar een vierkant, vervolgens berekenen we het gemiddelde; zie bovenstaande afbeelding. De tweede benadering is 33: √128 = 33. Op naar de derde benadering!

De derde benadering! Nu hebben we een rechthoek met een oppervlakte van 128 en één zijde is 33, namelijk de laatste benadering van √128. De andere zijde is dan: 3,87879. We werken naar een vierkant toe en nemen het gemiddelde; zie boven. De derde benadering is 18,43939; √128 = 18,43939.

Nu komt de vierde benadering. De rechthoek gaat steeds meer lijken op een vierkant. We hebben een rechthoek met een oppervlakte van 128 en één zijde is 18,43939. De andere zijde x is dan 6,94166. We werken nog steeds naar een vierkant toe; de nieuwe benadering is dan het gemiddelde: 12,69053. En dus: √128 = 12,69053.

De vijfde benadering is eigenlijk weer hetzelfde als de anderen, maar met andere getallen. Hier is de nieuwe, de vijfde benadering, gelijk aan 11,38840 en √128 = 11,38840.

De zesde benadering: we hebben een rechthoek met een oppervlakte van 128 en één zijde is 11,38840. We werken nog steeds naar een vierkant toe: we nemen het gemiddelde en dan wordt de zesde benadering 11,31395, √128 = 11,31395. Ze gaan we door met de zevende benadering van √128. Het resultaat van deze benadering is 11,31371; √128 = 11,31371.

Nu zijn we aangekomen bij de achtste, (en zal blijken) de laatste benadering. We hebben (nog steeds) een rechthoek met een oppervlakte van 128 en één zijde van 11,31371. We berekenen zijde x: en die is 11,31371. Die zijden zijn hetzelfde! Dat is het einde van onze benaderingen, want we hebben een vierkant benaderd. Zouden we 6 of 7 decimalen achter de komma nemen, dan zijn we nog wel eventjes bezig.

We hebben nu op papier (in ieder geval zonder rekenmachine) de wortel van 128 benaderd en het mooiste was de weg ernaar toe. (Dat vind ik.)

ANDERE WORTELS

  1. Aufzählungszeichen   De wortel is het ondergrondse gedeelte van de plant, waarmee deze water en opgeloste voedingsstoffen uit de bodem opneemt;

  2. Aufzählungszeichen  De wortel die als groente gekweekt wordt is botanisch dezelfde soort als wilde peen, Daucus carota. Deze kruist zeer gemakkelijk met de eetbare wortel, waardoor er zo nu en dan een witte wortel tussen de gekweekte wortelen kan voorkomen. Wortels zijn rijk aan bètacaroteen, dat in het lichaam wordt omgezet in vitamine A;

  3. Aufzählungszeichen  Een penwortel is een sterke hoofdwortel die voorkomt bij een aantal planten. Hij groeit recht naar beneden. Bij boomsoorten zoals den, eik, es verankert de wortel de boom en zorgt ervoor dat deze ook uit diepere grondlagen water en voedingsstoffen kan halen. Andere planten maken een sterk verdikte penwortel voor opslag van reservevoedsel. Vaak zijn dit tweejarige soorten, maar hij komt ook voor bij eenjarige planten zoals herderstasje. De vorm van de wortel kan per soort sterk verschillen. Hij kan kort tot zeer lang en min of meer rond, conisch of cilindervormig zijn;

  4. Aufzählungszeichen    Een wortel is ook een onderdeel van een tand;

  5. Aufzählungszeichen    Met de radix of wortel wordt de kleinste betekenisvolle eenheid in een taal bedoeld. Lexicale eenheden bestaan altijd uit minstens één wortel. De wortel wordt onderscheiden van de stam, doordat het bij wortels zowel om vrije als gebonden morfemen kan gaan. De stam van een woord is altijd een vrij morfeem. Bij talen met weinig verbuiging zoals het Engels en Nederlands is een niet-samengesteld, onverbogen woord doorgaans gelijk aan de stam/wortel. Het onderscheid tussen de stam en wortel is bij deze talen grotendeels verloren gegaan. Oudere talen uit dezelfde familie (de Indo-Europese talen), bijvoorbeeld Sanskrit of Grieks, bevatten nog wel het onderscheid tussen wortel en stam. Zo heeft bijvoorbeeld het Sanskriet ten minste 2000 wortels, waarmee via vastgestelde regels, een stam kan worden opgebouwd voor zelfstandige naamwoorden, of voor werkwoorden;

  6. Aufzählungszeichen    Een wortel is ook het beginpunt van een boomstructuur in de logica en informatica;

  7. Aufzählungszeichen  Wortel is een dorp in de Belgische provincie Antwerpen en een deelgemeente van de stad Hoogstraten. Sinds 1822 was er een interneringskolonie voor landlopers gevestigd. Deze werd in 1993 omgevormd tot een strafinrichting. Sedert 2010 is de PI Tilburg een dependance van de Belgische strafinrichting Wortel. Wortel was een zelfstandige gemeente tot eind 1976. Wortel heeft een oppervlakte van 13,51 km² en telde in 2007 1721 inwoners.

Wortels voor gevorderden

Klik hier om verder te gaan!wortel2.html