Wortels voor gevorderden

TERUGwortel.html
Wortels voor gevorderden

Wortels voor gevorderden

We hebben nu geleerd hoe je wortel kunt trekken, maar er zijn nog meer wortels. Laten we beginnen:


√16 = 4, want  42 = 16.


Je kunt het ook anders schrijven:


2√16 = 4. want  42 = 16.


Dus:  √16 = 2√16, deze wortels heten ook wel vierkantswortels, of tweedegraadswortels.


Er zijn dus ook derdegraadswortels:


3√8 = 2, want  23 = 8,


óf:    3√27 = 3, want  33 = 27.


En algemeen:    3√a = b, want  b3 = a.


En ook zijn er vierdegraadswortels:


4√256 = 4, want  44 = 256,


óf:    4√256 = 4, want  44 = 256.


En algemeen:    4√a = b, want  b4 = a.


En ook zijn er vijfdegraadswortels:


5√32 = 2, want  25 = 32,


óf:    5√32 = 2, want  25 = 32.


En algemeen:    5√a = b, want  b5 = a.


En in het algemeen (nde graads wortel):

n√a = b, want  bn = a.

(n is een geheel natuurlijk getal boven de nul.)

Je kunt niet alleen tweedegraadswortels zonder rekenmachine (dus met pen én papier) uitrekenen, maar ook hogere graden. We kijken eerst naar de derdegraadswortel van 125; 125 = 5.

Een tweedegraadswortel kunnen we zien als een vierkant; het getal onder de wortel is de oppervlakte van dat vierkant en de zijde is het resultaat van die wortel. Zo kun je een derdegraadswortel zien als een kubus; een kubus heeft allemaal zijden die evenlang zijn. Hierboven zie je dan mooi; de inhoud van bovenstaande kubus is 125 en de zijden zijn allemaal 5 lang. De inhoud is dan 5 ∙ 5 ∙ 5 = 53 = 125; en 125 = 5. Nu gaan we analoog aan de berekening van √128 ook 128 berekenen. Lees en huiver!

We zien een kubus met een inhoud van 128; een kubus heeft allemaal dezelfde  zijden. Één    zo´n zijde is 128. We kiezen een beginpunt; ik koos voor 1. Er zijn best veel stappen nodig om 128 te benaderen. Er is een snellere manier, die ik uitleg na de lange versie.

LINKS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, die de door mij gekozen lengte 1 hebben. Dan wordt de andere zijde (y) berekent. De inhoud van een rechthoek is: de lengte ∙ de breedte ∙ de hoogte. Je berekent het

gemiddelde (hier 43,33333) en dan is de laatste benadering van ∛128; ∛128 = 43,33333.

RECHTS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 43,33333 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 0,06817. Het gemiddelde is 28,91161, dus de laatste benadering van 128 is 28,91161.

LINKS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 28,91161 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 0,15313. Het gemiddelde is 19,32545, dus de laatste benadering van 128 is 19,32545.

RECHTS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 19,32545 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 0,34273. Het gemiddelde is 12,99788, dus de laatste benadering van 128 is 12,99788.

LINKS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 12,99788 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 0,75764. Het gemiddelde is 8,91780, dus de laatste benadering van 128 is 8,91780.

RECHTS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 8,91780 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 1,60951. Het gemiddelde is 6,48170, dus de laatste benadering van 128 is 6,48170.

LINKS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 6,48170 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 3,04671. Het gemiddelde is 5,33671, dus de laatste benadering van 128 is 5,33671.

RECHTS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 5,33671 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 4,49431. Het gemiddelde is 5,05591, dus de laatste benadering van 128 is 5,05591.

RECHTS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 5,03974 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 5,03958. Het gemiddelde is 5,03968, dus de laatste benadering van 128 is 5,03968.

LINKS: je ziet een rechthoek met een inhoud van 128 en twee zijden, een lengte hebben van 5,055591 (de laatste benadering van 128); we gaan de lengte van y berekenen en die is 5,00739. Het gemiddelde is 5,03974, dus de laatste benadering van 128 is 5,03974.

De op-een-na-laatste benadering van 128 was 5,03968 én de laatste benadering van 128 ook. Dat zie in het bovenstaande figuur nog duidelijker. We kunnen met trots zeggen, dat we 128 benaderd hebben op vijf decimalen achter de komma: 128 = 5,03968.

Het waren er maar liefst elf stappen voor nodig, maar dat kan véél korter. Het is ook mogelijk om het in drie stappen te doen. Klik op onderstaande knop en dan gaan we op de volgende pagina verder.

VERDERwortel3.html